Den relativistiska himmelssfären Lorentztransformationer med hjälp av Cliffordalgebra The Relativistic Celestial Sphere Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Rickard Cullman Albin Nydén Hanna Persson Peter Ryberg Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2020 Den relativistiska himmelssfären Lorentztransformationer med hjälp av Cliffordalgebra Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet Peter Ryberg Examensarbete för kandidatexamen i matematik inom Matematikprogrammet vid Göteborgs universitet Rickard Cullman Albin Nydén Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk matematik vid Chalmers Hanna Persson Handledare: Andreas Rosén Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2020 Förord Under arbetets gång har gruppen, regelbundet på veckobasis, fört en dagbok som kortfattat sam- manfattat arbetsprocessen. Samtliga i gruppen har bidragit med att skriva i denna dagbok. Utöver dagboken har varje gruppmedlem individuellt fört en tidslogg som innehåller såväl aktivtet som den tid det tagit. Detta projekt har i mångt och mycket varit en litteraturstudie med målet att replikera ett resultat i boken Geometric Multivector Analysis [4] av vår handledare Andreas Rosén. För att uppnå detta mål har varje gruppmedlem enskilt skrivit tre delrapporter, vardera med olika bitar av det innehåll som utgör huvudrapporten. Varje gruppmedlem har således redogjort för de resultat som rapporten innehåller. Vi betecknar nedan gruppmedlemmarnas bidrag till såväl huvudrapporten som arbetsprocessen. Vi anger vilka som varit huvudförfattare för respektive avsnitt, men samtliga i gruppen har vägt in i hela texten i sig. Rickard Cullman: Inledning, avsnitt 3, 5.1 och 6.2. Definitionen av Cliffordprodukten är en egen konstruktion baserad på räkneregler bevisade i [4]. Bevisen för lemma 3.1, sats 3.2 och sats 3.4 är även de Rickards skapelser. Albin Nydén: Avsnitt 4 och 7. Figurer 5 och 6 med TikZ, och figurer 7, 8 och 9 med MAT- LAB. Albin har samlat in stjärnkoordinater för projektets datamängd och har utfört programme- ringen i MATLAB. Hanna Persson: Avsnitt 5.2, 6.1 och slutsats. Figur 3. Hanna har samlat in stjärnkoordinater för projektets datamängd. Peter Ryberg: Populärvetenskaplig presentation, sammanfattning, avsnitt 2.1, 2.2 och 6.2. Figurer 1, 2 och 4 med TikZ. Peter har tagit ansvar för en större del av planeringsrapporten och fört en möteslogg. Vi vill avslutningsvis tacka vår handledare Andreas Rosén för all hjälp, vägledning och för att ha introducerat Cliffordalgebran till oss. Populärvetenskaplig presentation ”Vi ligger alla i rännstenen, men somliga av oss tittar på stjärnorna” skrev författaren Oscar Wilde i sin pjäs Solfjädern. Wilde menade det förstås inte i bokstavlig bemärkelse, men ponera nu att vi i själva verket ligger i rännstenen en stjärnklar natt och blickar upp mot stjärnorna; kanske känner vi igen ett par stjärnbilder som exempelvis Karlavagnen och Orions bälte. Låt oss nu vidare anta att vi dessutom ser ett rymdskepp som med en hastighet nära ljusets färdas bort ifrån jorden mot polstjärnan. Passagerarna ombord detta skepp ser också stjärnorna, men deras bild av stjärnhimmelen kommer skilja sig åt från vår, där vi ligger i rännstenen, och stjärnbilder som Karlavagnen och Orions bälte kommer för dem inte se ut som de gör för oss. Albert Einsteins (1879-1955) relativitetsteori, som beskriver såväl rum som tid som relativa begrepp, talar om för oss varför så är fallet, och vi ställer oss följaktligen frågande: Hur ser stjärnhimmelen ut från passagerarnas perspektiv? För att nå svaret behöver vi först lite fysik och matematik. Om det är någonting som Einsteins relativitetsteori lärt oss är det att saker och ting inte alltid är som de verkar. Säg att rymdskeppspassagerarna äter middag. För dem inträffar middagen på en och samma plats, vid middagsbordet ombord rymdskeppet, men för oss i rännstenen äter de middag på olika platser allteftersom tiden fortlöper, då de ur vårt perspektiv färdas bort ifrån jorden. Beroende på vem vi frågar tar middagen dessutom olika lång tid. Om vi tittar på vår klocka skulle den ticka fortare i jämförelse med passagerarnas klocka ombord rymdskeppet. Kunde passagerarna titta på vår klocka skulle de också tycka att vår klocka tickar fortare än deras. Tiden är inte absolut. Med andra ord kommer varken vi eller passagerarna vara överens om var middagen äger rum eller när, och ingen av oss har mer rätt än de andra, ty såväl rum som tid är relativa. För att få lite klarhet i relativitetsteorin vänder vi oss till Einsteins matematiklärare Hermann Minkowski (1864-1909) som införde en matematisk modell för detta ändamål; han presenterade denna modell under en föreläsning 1908 på dramatiskt vis med uttalandet ”rummet självt och tiden självt är dömda att blekna bort till skuggor och endast en union av de två kommer bevara en självständig verklighet” [2]. Den union Minkowski föreläste om är sammanslagningen av det tredimensionella rummet med en fjärde dimension: tiden. En sammanslagning som helt sonika går under namnet Minkowskirummet, eller rumtiden. I rumtiden kan vi matematiskt få oss en bild över de märkliga företeelser som förekommer i enlighet med relativitetsteorin, särskilt i exemplet med vår stjärnhimmel vilket hjälper oss att besvara vår fråga. När vi ligger i rännstenen, eller står upp för den delen, befinner vi oss i vila, vilket i relativi- tetsteorin också innebär att vi färdas med en konstant hastighet. Vi rör oss trots allt inte ur fläcken och ingen acceleration äger rum. Allteftersom tiden går ”färdas” vi längs en linje i rumtiden. Vi kallar den här linjen för vår världslinje. Rymdskeppet vi observerar åker med en hastighet som vi- da överstiger hastigheter vi är vana vid, nära ljusets hastighet. Passagerarna ombord rymdskeppet färdas längs sin egna världslinje som i rumtiden skiljer sig åt från vår. För att få oss en bild över hur deras stjärnhimmel ser ut ur deras perspektiv behöver vi alltså befinna oss på deras världslinje i rumtiden. Vi byter världslinje med hjälp av en övergång – en så kallad Lorentztransformation, uppkallad efter Hendrik Lorentz (1853-1928), som var professor i matematisk fysik. För att utföra de beräkningar som denna övergång innebär använder vi Cliffordalgebra, som namngetts efter matematikern, tillika filosofen William Kingdon Clifford (1845-1879). Vi ämnar lyfta fram Cliffordalgebran i ljuset och det finns anledningar till varför detta matematiska verktyg är lämpligt för vårt ändamål. Clifford har nämligen benämnts som en pionjär inom det fält som skulle bli relativitetsteorin; att det finns en koppling mellan Cliffordalgebra och transformationer i rumtid är således inte långsökt. Men den kanske främsta anledningen till Cliffordalgebrans lämplighet är att den besitter ett par egenskaper som gör beräkningar i rumtiden smidigare och överskådligare. För att kunna uppskatta Cliffordalgebran behöver vi emellertid först få en inblick i vad den är. Algebra, som ordagrant betyder återförenande, kan ses som ett samband mellan ting. En gren på det väldiga träd som utgör matematiken är linjär algebra och den förser oss således med linjära samband. För att välja ett exempel tar vi ett tredimensionellt rum, inte ett vardagsrum eller sovrum utan ett abstrakt rum med tre dimensioner. Om vi väljer ut två punkter, som vardera anges i koordinater, i rummet och drar en riktad linje från den ena till den andra punkten får vi en vektor. I linjär algebra studeras bland annat samband mellan vektorer i rummet; förenar vi dessutom två olika vektorer får vi en ny vektor, likt vi binder samman två snörstumpar och får ett snöre. Cliffordalgebra låter oss emellertid räkna med mer än bara vektorerna i rummet, den tillåter oss att använda ytorna som utgör dess sidor och hela rummet i sig. Tillsammans med vektorerna har vi alltså ytor och volymer. Cliffordalgebra är en geometrisk algebra som beskriver geometriska samband mellan vektorer, ytor och volymer, i fallet med vårt tredimensionella rum. Förenar vi vektorer, ytor och volymer får vi en multivektor. Likheten med snören för att beskriva vektorer blir dessvärre haltande när vi ska beskriva multivektorer, men vad vi ämnar fokusera på är hur vi räknar med dem. Hur räknar vi med multivektor i vår geometriska algebra? Vi behöver en särskild matematisk operation, ett räknesätt. Ett exempel på en matematisk operation är multiplikation; multiplicerar vi två tal med varandra blir resultatet ett tal, vilket närmare bestämt benämns som en produkt. Samma princip återfinns i Cliffordalgebran. Vi definierar en operation som vi kallar Cliffordproduk- ten, och tar vi Cliffordprodukten av två multivektorer får vi en multivektor; denna operation ligger till grund för Cliffordalgebran. Vad vi upptäcker när vi tillämpar Cliffordprodukten är att det finns olika typer av multivektorer, och en särskild typ som vi använder i våra räkningar är bivektorer. En bivektor är Cliffordprodukten av två vektorer och kan betraktas som en riktad yta, likt en vektor har en riktning har en bivektor det likaledes. Bivektorer är användbara för att beräkna exempel- vis rotationer av vektorer. Tag en vektor i det tredimensionella rummet och säg att vi vill rotera den med en bestämd vinkel runt en annan vektor. I sedvanlig linjär algebra behöver vi känna till nio saker för hur vår vektor förflyttas, i jämförelse med endast tre saker om vi i stället använder bivektorer som tillhandahålls i Cliffordalgebran. Vi ska inte gå in på detaljer kring dessa faktorer här, men kontentan är att Cliffordalgebran är ett effektivare matematiskt verktyg för ändamålet att utföra rotationer; att vi väljer att behandla rotationer beror på att Lorentztransformationen är en rotation i rumtiden. Vi använder här ett tredimensionellt rum som ett exempel för att förklara Cliffordalgebra, men det vi beskrivit gäller även i såväl lägre som högre dimensioner, exempelvis det fyrdimensionella Minkowskirummet vi utför Lorentztransformationen i. När vi utför Lorentztransformationen kommer vi uppleva hur stjärnorna på vår stjärnhimmel förflyttas. För att besvara frågan hur stjärnhimmelen ser ut när övergången utförs är det centralt att vi beräknar förflyttningen av stjärnorna. När vi blickar mot stjärnorna nås vi av deras ljus, oavsett hur många ljusår bort de är, och även om det inte är så i verkligheten kan vi i våra beräkningar utgå från att stjärnorna befinner sig på samma avstånd ifrån oss. Med andra ord kan vi betrakta stjärnhimmelen som en sfär som omsluter oss på jorden. Sfären är alltså en himmelssfär. Vi åsidosätter solen och räknar inte med den som en stjärna på vår himmelssfär. Att med hjälp av Cliffordalgebra förflytta stjärnorna på himmelssfären, i enlighet med Lorentztransformationen, är görbart, men vi kan förenkla räkningarna. I stället för att förflytta stjärnorna på himmelssfären avbildar vi dem först på ett plan, för att där förflytta dem. Att avbilda punkter på detta vis kallas för stereografisk projektion. I korta ordalag går det till på följande vis: vi delar vår himmelssfär i två lika stora halvor med ett plan. För att stereografiskt projicera en stjärna på himmelssfären drar vi en linje ifrån sfärens nordpol via stjärnan, som befinner sig på sfären, till planet. Där linjen träffar planet är stjärnans avbildning. Sedermera beräknar vi hur stjärnornas avbildningar i planet förflyttas till följd av Lorentz- transformationen. Vad som händer är att Lorentztransformationen förskjuter dem bort ifrån sfä- ren längre ut på planet. När förflyttningen ägt rum kan vi utan svårigheter dra en linje ifrån den förflyttade stjärnavbildningen på planet till himmelssfärens nordpol. Där linjen skär himmelssfären är den nya positionen för stjärnan. Vad som händer med stjärnorna på himmelssfären är att de samlas i sfärens nordpol. Vad detta innebär är att när vi färdas med en hastighet nära ljusets i en riktning mot polstjärnan kommer stjärnhimmelen koncentreras kring polstjärnan. Ur rymdskeppspassagerarnas perspektiv kommer deras stjärnhimmel samlas i den punkt vars riktning de färdas i, en ljuspunkt. Med andra ord har Karlavagnen och Orions bälte förskjutits och minskat i storlek. Detta går stick i stäv med hur det porträtteras i filmer som Star Wars. När rymdskeppen i dessa filmer färdas i överljushastighet försvinner stjärnorna förbi dem likt utdragna ljusstreck, men det är inte så det egentligen ska gå till – det som sker är det raka motsatta. Vi får i stället att stjärnorna förs samman. Detta besvarar den fråga vi ställt om hur rymdskeppspassagerarnas stjärnhimmel ser ut. I skrivandets stund är det inte möjligt att praktiskt erfara det fenomen vi har härlett, men matematiken är på så vis fantastisk i att den kan visa hur det ter sig i teorin. Sammanfattning I denna uppsats används Cliffordalgebra för att visualisera hur himmelssfären förändras till följd av en Lorentztransformation i Minkowskirummet. Lorentztransformationen härleds först genom ett fysikaliskt resonemang. Därefter byggs Cliffordalgebran upp för Minkowskirummet och formler för såväl vanliga euklidiska rotationer som Lorentztransformationen härleds. Slut- ligen visas hur Minkowskirummet kan kopplas till himmelssfären med hjälp av Cliffordalgebra och stereografisk projektion. Slutresulatet är MATLAB-plottar som visualiserar hur himmels- sfären förändras. Abstract In this paper Clifford algebra is used to help visualize how the celestial spehere changes under a Lorentz transformation in Minkowski spacetime. First the Lorentz transformation is obtained using physical reasoning. Then the Clifford algebra for Minkowski spacetime is defined and formulas for Euclidean rotations as well as the Lorentz transformation are derived. Finally it is shown how the Minkowski spacetime is connected to the celestial sphere using Clifford algebra and stereographic projection. The main result is MATLAB plots visualizing how the celestial sphere changes. Innehåll 1 Inledning 1 2 Minkowskirummet 1 2.1 Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2 Matematisk definition av Minkowskirummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Cliffordalgebran 5 4 Rotationer med Cliffordprodukten 8 5 Himmelssfären 11 5.1 Himmelssfären och Minkowskirummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Himmelssfären i ekvatoriella koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Stereografisk projektion och Möbiusspeglingar 12 6.1 Stereografisk projektion och Möbiusavbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2 Möbiusspegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.3 Inducerade avbildningar på planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Visualisering av himmelssfären 17 8 Slutsats 20 A Stjärnkoordinater 22 B Kod för parabolisk rotation 29 C Kod för Lorentztransformationen av himmelssfären 38 1 Inledning I R2 tillhandahåller de komplexa talen ett smidigt sätt att utföra rotationer. Med identifikationen (x, y) ∼ x+ iy kan vi utföra en rotation med φ radianer runt origo genom multiplikation med det komplexa talet eiφ. I denna uppsats undersöker vi hur detta tillvägagångssätt kan generaliseras för att beskriva rotationer och mer allmänt; linjära isometrier i högre dimensioner, i euklidiska såväl som icke- euklidiska vektorrum, genom Cliffordalgebra. Cliffordalgebran definierades första gången i [1] för euklidiska rum under namnet geometrisk al- gebra av William Kingdon Clifford (1845-1879), vars arbete byggde vidare på Hermann Grassmans (1809-1877) idéer om yttre algebra från 1843. En nyckelfigur i Cliffordalgebrans historia var Marcel Riesz (1886-1969), verksam i Lund under mitten av 1900-talet, som i [3] lade grunden till mycket av den moderna teorin inom området. Modellering med hjälp av Cliffordalgebra är ännu inte stan- dard inom den matematiska fysiken, även om exempelvis David Hestenes länge har förespråkat dess användning. Syftet med denna rapport är att ge ett exempel på en sådan användning. Vi kommer här att tillämpa Cliffordalgebran för att studera Einsteins speciella relativitetsteori, som år 1905 revolutionerade den moderna fysiken genom sin beskrivning av tid och rum som relativa begrepp, upplevelsen av vilka skiljer sig åt mellan observatörer som förflyttar sig i olika hastigheter relativt varandra. Det fyrdimensionella Minkowskirummet, eller rumtiden, utgör den naturliga miljön för det matematiska studiet av denna teori. Minkowskirummet är ett vektorrum bestående av alla vektorer (t, x, y, z), försett med den indefinita inre produkten (t, x, y, z) · (t′, x′, y′, z′) = −tt′ + xx′ + yy′ + zz′. En sådan vektor tolkas som en händelse på plats (x, y, z) i rummet vid tidpunkt t. Koordinaterna för en händelse skiljer sig åt mellan observatörer som färdas i olika hastigheter, och relateras via Lorentztransformationen som är en linjär isometri av Minkowskirummet med avseende på den inre produkten ovan. Isometrier av Minkowskirummet kan studeras genom att bädda in det som ett delrum i ett större vektorrum bestående av multivektorer och definiera en associativ multiplikation, Cliffordprodukten, på detta vektorrum, som tillsammans med denna produkt utgör Cliffordalgebran. Isometrier kan sedan beskrivas genom multiplikation med lämpliga multivektorer, en beskrivning som är avsevärt enklare och mer genomskådlig än den konventionella beskrivningen med hjälp av matriser. Del- rummet bestående av vektorer (0, x, y, z) identifieras med R3 och ger upphov till en delalgebra till Cliffordalgebran; detta låter oss behandla rotationer även i det tredimensionella euklidiska rummet. I denna text börjar vi med att härleda Lorentztransformationen genom ett fysikaliskt reso- nemang. Vi definierar sedan Cliffordprodukten för den Cliffordalgebra som motsvarar Minkowski- rummet, och bevisar formler för euklidiska rotationer såväl som Lorentztransformationen. Slutligen beskriver vi hur Minkowskirummet kan visualiseras vid en specifik tidpunkt genom projektion på enhetssfären och beskriver hur Lorentztransformationen förändrar denna. Vi tillämpar dessa resul- tat för att skapa ett datorprogram som simulerar hur vår upplevelse av stjärnhimmelen förändras då vi färdas mot den i hastigheter jämförbara med ljusets. 2 Minkowskirummet 2.1 Lorentztransformationen I det här avsnittet härleder vi Lorentztransformationen; vi gör detta i en rumdimension x, men det går enkelt att utöka transformationen till fler dimensioner. Låt O vara en observatör i vila med position x vid tidpunkt t, och låt en annan observatör O′ färdas med en konstant hastighet v m/s nära ljusets hastighet i x-led med position x′ vid tidpunkt t′. Figur 1 illustrerar situationen. O och O′ har olika referensramar och befinner sig således i olika system; vi kan betrakta dessa som koordinatsystem. I vårt fall har O koordinater (x, t) och O′ har koordinater (x′, t′). Vi kallar dessa system för inertialsystem (vars namn kommer från inertia eller tröghet), eftersom att 1 O (x, t) O’ med hastighet v (x’, t’ ) Figur 1: Observatör O och observatör O’ såväl O som O′ färdas med konstant hastighet; att vara i vila är alltså detsamma som att färdas med en konstant hastighet. Vi saknar accelerationer och därför är det följaktligen den speciella relativitetsteorin som vi använder oss av. Accelerationer för oss in på den allmänna relativitetsteorin och den är bortom denna uppsats. I klassisk bemärkelse, innan relativitetsteorin sade annorlunda, har vi följande samband i (1) mellan O och O′. { x′ = x− vt t′ = t (1) Tiden är absolut i dessa ekvationer; vi kan tänka oss att O:s klocka synkroniseras med O′:s klocka. Vi kan dessutom addera och subtrahera hastigheter i x-led. Relativitetsteorin visar emellertid att sambanden i (1) inte förser oss med hela bilden. Låt oss ta ett exempel för att förtydliga varför. O står stilla och ser O′ färdas i en riktning med en hastighet v′ nära ljusets hastighet. Säg nu att O′ observerar en annan observatör O′′ som färdas i samma riktning med en hastighet v′′ nära ljusets hastighet. De klassiska reglerna, stipulerade av bland andra Isaac Newton, för att addera hastigheter säger att O kan addera v′ och v′′, men relativitetsteorin visar att detta inte längre är möjligt, ty det skulle innebära en hastighet som överstiger ljusets. Vi behöver således ett nytt samband. Vi introducerar en konstant γ som är den så kallade Lorentzfaktorn. Lorentzfaktorn är en hastighetsfunktion som förklarar hur exempelvis tiden förändras för O′ som färdas relativt O. Med γ får vi följande ekvationer i (2): { x′ = γ(x− vt) x = γ(x′ + vt) (2) Vi behöver bestämma γ. Fysikens lagar gäller och ljusets hastighet c = 299792458 m/s är kon- stant i alla inertialsystem. Om vi betraktar en ljuspuls så kommer den, oavsett vilken observatörs perspektiv vi utgår från, färdas i samma hastighet c. Vår transformation måste således se till att följande ekvationer i (3) uppfylls. { x = ct x′ = ct′ (3) Dessa ekvationer utgör en särskild händelse i våra två inertialsystem eftersom att endast ljuset kan färdas med hastighet c. Och vi kan använda denna händelse för att härleda γ. Om vi multiplicerar x med x′ och använder högerleden i (2) och (3) får vi följande likheter xx′ = γ2(x′ − vt′)(x− vt) = (ct′ + vt′)(ct− vt) = γ2(c2tt′ − v2tt′) ⇐⇒ c2tt′ = γ2(c2 − v2)tt′ ⇐⇒ c2 = γ2(c2 − v2) ur vilket vi löser ut γ: γ = 1√ 1− ( vc )2 2 Med ett par räkningar får vi Lorentztransformationen (4) som ger oss en övergång ifrån O:s iner- tialsystem (x, t) till O′:s inertialsystem (x′, t′): x′ = x− vt√ 1− ( vc )2 t′ = t− v c2x√ 1− ( vc )2 (4) Låt oss nu vidare undersöka samband mellan O och O′. Namnet till trots är inte allt relativt i relativitetsteorin. O och O′ må vara oense om var och när saker och ting inträffar, men följande kvantitet är något som de båda kan enas om: x2 − c2t2 = (x′)2 − c2(t′)2 (5) Denna kvantitet förblir oförändrad efter att Lorentztransformationen har utförts, den är invariant ; hade Einstein fått sin vilja igenom hade hans teori uppkallats efter detta ord [2]. Låt oss med hjälp av Lorentztransformationen visa att kvantiteten är invariant: (x′)2 − c2(t′)2 = (γ(x− vt))2 − c2(γ(t− v c2 x))2 = γ2(x2 + v2t2 − 2vxt− c2t2 + v2x2 c2 − 2vxt) = x2 − c2t2 I avsnitt 2.2 kommer vi visa hur denna kvantitet utgör den inre produkten i rumtiden, men innan vi fortsätter med den matematiska grunden ämnar vi göra en omskrivning av vår Lorentztransforma- tion. Längre fram i rapporten kommer vi nämligen utföra hyperboliska rotationer, och dessa har en koppling till vår nyss härledda Lorentztransformation (vi visar detta i avsnitt 4). Vi introducerar därmed hyperboliska funktioner med vilka vi, i stället för att räkna v i m/s, ämnar räkna v i antal procent av c med vinkeln φ, som i fysikalisk bemärkelse kallas rapiditet. Vi har v = c tanh (φ) där 0 < v < c, 0 < φ < ∞ och tanh (φ) ∈ [−1, 1]. Låt oss räkna ett exempel för att demonstrera. Låt φ = 1 radian vilket ger oss att tanh (1) ≈ 0.76. Med vinkeln, eller rapiditet, φ = 1 färdas O′ i en hastighet som motsvarar 76% av ljusets. Om vi i stället låter φ bli oändligt stort får vi lim φ→∞ tanh (φ) = 1 vilket innebär att O′ färdas med ljusets hastighet. Detta är inte fysikaliskt möjligt, och hädanefter anger vi c = 1 (alltså 100% hastighet). Vi skriver om uttrycket för γ och får γ = 1√ 1− ( vc )2 = 1√ 1− (tanh (φ))2 = 1√ 1− (sinh (φ))2 (cosh (φ))2 = cosh (φ)√ (cosh (φ))2 − (sinh (φ))2 = cosh (φ) Vi har i härledningen ovan använt oss av tanh (φ) = (sinh (φ))(cosh (φ))−1 och den hyperboliska ettan (cosh (φ))2 − (sinh (φ))2 = 1. Vi gör en omskrivning av (4) med φ i stället för v och utökar dessutom med två rumdimensioner: x′ = (cosh (φ))x− (sinh (φ))t y′ = y z′ = z t′ = −(sinh (φ))x+ (cosh (φ))t (6) (6) är en fyrdimensionell Lorentztransformation där O′ färdas i x-led. Tiden utgör den fjärde dimensionen. Låt oss nu formellt introducera rumtiden. 3 2.2 Matematisk definition av Minkowskirummet I detta avsnitt kombinerar vi rummet och tiden för att få rumtiden, eller Minkowskirummet som vi benämner med W . Minkowskirummet är fyrdimensionellt där tre dimensioner utgörs av rum- koordinaterna {x, y, z} och den fjärde dimensionen utgörs av tiden t. Dess ortonormerade bas, ON-bas, består av vektorerna {e1, e2, e3} för rumkoordinaterna, samt vektorn e0 som spänner upp tidsaxeln. I det euklidiska rummet har vi skalärprodukten, men som det uppdagats håller inte denna produkt i rumtiden eftersom att O och O′ är oense om var, och dessutom när, saker och ting inträffar. Vi behöver en alternativ inre produkt för W och den ges av kvantiteten i (5); denna kvantitet är densamma oberoende av hur inertialsystemen skiljer sig åt. Minkowskirummets inre produkt har samma egenskaper som skalärprodukten men med ett undantag som berör e0. Definition 2.1. Vi definierar Minkowskirummet W som ett tidsorienterat fyrdimensionellt vek- torrum över kroppen R med ON-bas {e0, e1, e2, e3} och inre produkt v1 · v2 för vektorer v1, v2 ∈W ; den inre produkten definieras som (te0 + xe1 + ye2 + ze3) · (t′e0 + x′e1 + y′e2 + z′e3) = −tt′ + xx′ + yy′ + zz′ med e0 · e0 = −1 och e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1. Vi låter origo i W beskriva “här och nu” för vår observatör O. Punkter i W kallar vi händelser. e0 pekar framåt i tiden; följaktligen pekar −e0 bakåt i tiden. W kan givetvis ha fler eller färre rumdimensioner, som i vår härledning av Lorentztransformationen exempelvis. Till skillnad från skalärprodukten kan vi inte längre betrakta “längd” på ett naturligt vis, eftersom att vår inre produkt kan ge upphov till negativa tal. Till följd av detta finns det tre sorters vektorer i W : ljuslika, tidslika och rumslika. För en ljuslik vektor v ∈ W gäller att v · v = 0. Alla ljuslika vektorer i W utgör en dubbelkon som vi kallar för ljuskonen och benämner med Wl. Se figur 2 för hur Wl ser ut i tredimensionell rumtid. Den “övre” konen kallar vi för den framtida ljuskonen Wl+. Den “undre” kallar vi för den dåtida ljuskonen Wl−, och vi får att Wl = Wl+ ∪Wl−. e1 e0 −e0 e2 origo Wl+ Wl− Figur 2: Ljuskonen Wl i det tredimensionella Minkowskirummet För en tidlik vektor v ∈ W gäller att v · v < 0. De tidslika vektorerna ryms i ljuskonen och kan delas upp i framtida Wt+, som ryms i den framtida ljuskonen, och dåtida Wt−, som ryms i den dåtida ljuskonen. Vi har dessutom att e0 ∈Wt+. För en rumslik vektor v ∈ W gäller att v · v > 0. De rumslika vektorerna befinner sig utanför ljuskonen. Givet dessa tre typer av vektor i W ska vi definiera en viktig egenskap hos Lorentztransforma- tionen. Definition 2.2. Vi har Minkowskirummet W . En linjär operator T : W → W är en isometri om T (v) · T (v) = v · v för alla vektorer v ∈W . Definitionen för isometrier gäller allmänt för ett inre produktrum. När vi utför Lorentztransforma- tionen T som tar oss ifrån O:s inertialsystem till O′:s förblir kvantiteten i ekvation (5) oförändrad. Detta innebär, givet vår definition av den inre produkten i W , att T är en isometri; vi kan följakt- ligen betrakta en isometri som en form av basbyte. Att T är en isometri är centralt för det innebär att T avbildar ljuslika vektorer som ljuslika och följaktligen att ljuskonen avbildas på ljuskonen i W . Vi undersöker denna egenskap vidare i avsnitt 5.1. 4 3 Cliffordalgebran För att kunna hantera transformationer på ett effektivt sätt ska vi nu bädda in Minkowskirummet i ett större vektorrum och definiera en associativ multiplikation på detta rum, vilket gör rummet till en associativ algebra. Vi börjar med att betrakta rummet ∧W av formella reella linjärkombinationer av element i mängden E bestående av abstrakta objekt indexerade av potensmängden P ({0, 1, 2, 3}) till {0, 1, 2, 3}, E = {es : s ⊂ {0, 1, 2, 3}} där vi gör tolkningen e∅ = 1. Vi skriver alltid element ur E genom att lista elementen i s i stigande ordning, exempelvis e123 := e{1,2,3}. Vi definierar nu, för s, t ⊂ {0, 1, 2, 3} As,t := {(x, y) ∈ s× t : x > y} och sedan ε : P ({0, 1, 2, 3})× P ({0, 1, 2, 3})→ {1,−1} genom ε(s, t) := (−1)|As,t| och τ : P ({0, 1, 2, 3})→ {1,−1} genom τ(s) := { −1, 0 ∈ s 1, 0 /∈ s. På mängden RE = {aes : a ∈ R, es ∈ E} definierar vi nu operationen 4 genom aes4bet := (ab)ε(s, t)τ(s ∩ t)es4t där 4 innebär symmetrisk mängddifferens som en operation på mängder. Vi ska nu visa att denna operation är associativ. För detta behöver vi följande lemman. Lemma 3.1. För alla s, t, u ⊂ {0, 1, 2, 3} gäller att ε(s4t, u) = ε(s, u)ε(t, u) och ε(s, t4u) = ε(s, t)ε(s, u). Bevis. Mängden As4t,u består av alla par (x, y) ∈ (s∪ t)×u sådana att x > y, undantaget de par för vilka x ∈ s ∩ t. Varje sådant par hör till As,u ∩At,u, så att |As4t,u| ≡ |As,u|+ |At,u| (Mod 2) eftersom varje sådant par räknas med en gång i varje term på högersidan, och vi får ε(s4t, u) = (−1)|As4t,u| = (−1)|As,u|+|At,u| = (−1)|As,u|(−1)|At,u| = ε(s, u)ε(t, u). Ett liknande resonemang, där vi i stället betraktar par (x, y) i s× (t ∪ u) sådana att y ≤ x, visar att ε(s, t4u) = ε(s, t)ε(s, u). 5 Vi har att (s4t)4u = s4(t4u) eftersom båda mängder är lika med unionen av alla tre, undantaget de element som förekommer i exakt två av dem. Genom att kontrollera olika fall där 0 hör eller inte hör till s, t och u kan vi även visa att τ(s ∩ t)τ((s4t) ∩ u) = τ(s ∩ (t4u))τ(t ∩ u). Vidare får vi, genom att använda Lemma 1, att ε(s, t)ε(s4t, u) = ε(s, t)ε(s, u)ε(t, u) = ε(s, t4u)ε(t, u). Sammantaget leder detta till följande resultat. Sats 3.2. 4 är en associativ operation på RE. Bevis. (es4et)4eu = ε(s, t)ε(s4t, u)τ(s ∩ t)τ((s4t) ∩ u)es4t4u = ε(s, t4u)ε(t, u)τ(s ∩ (t4u))τ(t ∩ u)es4t4u = es4(et4eu). Denna operation utvidgar vi sedan till en associativ produkt på ∧W genom ∑ s⊂{0,1,3,4} ases 4  ∑ t⊂{0,1,3,4} atet  := ∑ s,t⊂{0,1,3,4} (asat)es4et. Hädanefter kommer vi inte skriva ut 4, utan skriver för v, v′ ∈ ∧W att vv′ := v4v′. Operationen vi just definierade går under namnet Cliffordprodukt, och ∧W försedd med denna operation kallas för Cliffordalgebra. Med hjälp av associativiteten är det lätt att räkna ut produkten av godtyckliga element i ∧W ; av definitionen följer omedelbart att e0e0 = −1, e1e1 = e2e2 = e3e3 = 1 eset = −etes om |s| = |t| = 1, s 6= t. (7) Sedan räknar vi exempelvis e012e1e03 = (e0e1e2)e1(e0e3) = (e0e1)(e2e1)(e0e3) = −(e0e1)(e1e2)(e0e3) = −e0(e1e1)(e0e3) = −(e0e0)e3 = e3. Vi definierar nu delrummen ∧kW ⊂ ∧W för k = 0, 1, 2, 3, 4 genom ∧kW := Span{es : |s| = k}. så att ∧W = 4⊕ k=0 ∧kW. ∧1W identifierar vi med Minkowskirummet genom (t, x, y, z) ∼ te0 + xe1 + ye2 + ze3. Elementen i ∧2W kallas bivektorer och är av särskilt intresse för oss eftersom de är nära kopplade till de isometrier vi ska studera. Ett allmänt element i ∧W innehåller termer från alla delrummen ∧kW och kallas för en multivektor. 6 Vi kommer även vara intresserade av att behandla vanliga euklidiska rotationer i R3, och på samma sätt som R3 är ett delrum till Minkowskirummet W är ∧R3 := Span{es : s ⊂ {1, 2, 3}} en delalgebra till ∧W , det vill väga ∧R3 är sluten med avseende på Cliffordprodukten. Identifika- tionen är naturligtvis (x, y, z) ∼ xe1 + ye2 + ze3. ∧kR3 för k = 0, 1, 2, 3 definieras analogt med ∧kW . Om vi räknar ut produkten av två godtyckliga element i ∧1R3 får vi (xe1 + ye2 + ze3)(x′e1 + y′e2 + z′e3) = xx′e1e1 + xy′e1e2 + xz′e1e3 +yx′e2e1 + yy′e2e2 + yz′e2e3 + zx′e3e1 + zy′e3e2 + zz′e3e3 = [xx′ + yy′ + zz′] + [(yz′ − y′z)e23 − (x′z − xz′)e31 + (xy′ − x′y)e12]. Den första termen är skalärprodukten mellan de två vektorerna (x, y, z) och (x′, y′, z′). Den andra termen har koordinaterna för deras kryssprodukt, dock i basen {e23, e31, e12}. Om vektorerna är ortogonala är den första termen därför lika med 0. Från linjär algebra vet vi att varje vektor i R3 kan skrivas som vektorprodukten av två ortogonala vektorer. Vi noterar sålunda: Sats 3.3. Varje bivektor i ∧2R3 kan skrivas som Cliffordprodukten av två ortogonala element ur ∧1R3. De nyss utförda beräkningarna hjälper oss även att bevisa följande viktiga sats. Sats 3.4. Välj ut någon ON-bas i W och identifiera, på ovan angivet sätt, dessa med vektorerna {e′0, e′1, e′2, e′3} i ∧W . Räknereglerna (7) för Cliffordprodukten är då giltiga även i denna bas. Bevis. Vi väljer två baselement med koordinater (t, x, y, z) och (t′, x′, y′, z′) i standardbasen och räknar (där a, b ∈ {0, 1, 2, 3}): e′ae ′ b = (te0 + xe1 + ye2 + ze3)(t′e0 + x′e1 + y′e2 + z′e3) = tt′e0e0 + te0(x′e1 + y′e2 + z′e3) + (xe1 + ye2 + ze3)t′e0 +(xe1 + ye2 + ze3)(x′e1 + y′e2 + z′e3) = [−tt′ + xx′ + yy′ + zz′] +[te0(x′e1 + y′e2 + z′e3)− t′e0(xe1 + ye2 + ze3)] +[(yz′ − y′z)e23 − (x′z − xz′)e31 + (xy′ − x′y)e12]. (8) Om a = b försvinner den andra och tredje termen. Den första termen är lika med −1 om a = b = 0 och 1 om a = b ∈ {1, 2, 3}, vilket visar de första två ekvationerna i (1). Om a 6= b är den första termen lika med 0. Byter vi plats på a och b byter den andra termen tecken, och det är känt från linjär algebra att vektorprodukten antikommuterar. Detta bevisar den tredje ekvationen i (1). Förmågan att göra lämpliga basbyten kommer att vara viktig när vi tillämpar Cliffordalgebran vid räkning med isometrier i W . Genom att välja en ON-bas för R3 gäller reglerna även för delalgebran ∧R3. Satsen ovan visar även att 1-vektorer, undantaget de ljuslika, är multiplikativt inverterbara: Sats 3.5. För alla element i v ∈ ∧1W gäller att v2 = v · v; följaktligen är alla element v i ∧1W sådana att v · v 6= 0 inverterbara med invers 1 v·vv. Vi avslutar med att visa en användbar räkneregel. Om vi byter ut e′a och e′b i (8) mot två godtyckliga vektorer v, w ∈ ∧1W och adderar vw och wv tar de två sista termerna ut varandra för att ge Sats 3.6. (Cliffords antikommuteringsrelation): vw + wv = 2(v · w) ∀v, w ∈ ∧1W . 7 4 Rotationer med Cliffordprodukten Vi vet från grundläggande komplex analys att rotationer av ett komplext tal z moturs med en vinkel φ ges av eφiz. Om vi definierar en rotation som en funktion T : W → W som är en isometri samt att T (v) = v för minst en vektor v ∈W då visar det sig att formeln för en allmän rotation av en vektor v längs en rotationsvinkel φ med Cliffordprodukten ges av exp( −φj 2 )vexp( φj 2 ) (9) där j ∈ ∧2 W är en bivektor och vi använder följande definition av exponentialfunktonen exp(t) = ∞∑ k=0 tk k! . Den implicita produkten vi använder är givetvis Cliffordprodukten. Om exp(−φj2 )vexp(φj2 ) ∈ ∧1W så ger Sats 3.5 oss att (exp( −φj 2 )vexp( φj 2 )) · (exp( −φj 2 )vexp( φj 2 )) = exp( −φj 2 )vexp( φj 2 )exp( −φj 2 )vexp( φj 2 ) = exp( −φj 2 )v2exp( φj 2 ) = (v · v)exp( −φj 2 )exp( φj 2 ) = (v · v), så vi ser att (9) bevarar den inre produkten. Bivektorn j i formeln bestäms utifrån vilken rotations- axel vi roterar kring. Om vi är i ∧R3 och vill använda en normaliserad vektor r som rotationsaxeln så ges bivektorn j av j = e123r. En viktig sak att notera med normaliserade bivektorer j = ae12 + be13 + ce23 i ∧2R3 är att j2 = −1, genom att använda Sats 3.3 så kan vi skriva j = v1v2, där v1 och v2 är orthogonala, så vi får j2 = (v1v2)2 = v1v2v1v2 = −v1v1v2v2 = −1. Vikten av detta faktum är att beräkningen av exp(φj2 ) förenklas avsevärt. Vi noterar att j2k = (−1)k j2k+1 = (−1)kj för k ∈ Z≥0, med detta får vi exp( φj 2 ) = ∞∑ k=0 1 k! (φj 2 )k = ∞∑ k=0 1 (2k)! (φ 2 )2k + j ∞∑ k=0 1 (2k + 1)! (φ 2 )2k+1 = cos( φ 2 ) + jsin( φ 2 ). För att se att (9) ger oss en rotation så bevisar vi följande 8 Sats 4.1. Om r1 ∈ R3 är en normaliserad vektor, φ ∈ R och j = e123r1 då får vi att exp( −φj 2 )vexp( φj 2 ) roterar vektorn v via rotationsaxeln r1 med rotatinsvinkel φ. Bevis. Vi börja med att hänvisa till sidan 85 i [4] för det faktum att vi kan välja två vektorer r2 och r3 så {r1, r2, r3} bildar en ON-bas och att ekvationen r2r3 = e123r1 håller. Vi kan då skriva v som v1r1 + v2r2 + v3r3 och eftersom r1 kommuterar med r2r3 får vi att r1 kommuterar med j. Detta ger oss att exp( −φj 2 )v1r1exp( φj 2 ) = exp( −φj 2 )exp( φj 2 )v1r1 = v1r1. För r2 får vi att exp( −φj 2 )v2r2exp( φj 2 ) = (cos( φ 2 )− jsin( φ 2 ))v2r2(cos( φ 2 ) + jsin( φ 2 )) = v2((cos( φ 2 )− r2r3sin( φ 2 ))(r2cos( φ 2 ) + r3sin( φ 2 ) = v2(r2cos(φ) + r3sin(φ)) och en helt analog beräkning för r3 ger oss exp( −φj 2 )v3r3exp( φj 2 ) = v3(−r2sin(φ) + r3cos(φ)). Vi ser då att vektorn v roteras via planet som spänns av r2 och r3 med en vinkel φ medan r1 bevaras. Detta är den sökta rotationen. För att veta i vilken riktning som rotationen görs så kan vi tänka oss att vektorn som motsvarar rotationsaxeln pekar rakt mot oss så att vi ser ner på planet som är ortogonalt mot rotationsaxeln, då kommer rotationen göras moturs längs planet. Som vi nämnde tidigare så är kvadraten av en normaliserad bivektor i det euklidiska rummet alltid −1 men i Minkowskirummet så kan kvadraten av en normaliserad bivektor vara både negativ, positiv och 0. Detta betyder att vi i Minkowski- rummet får tre olika typer av rotationer. Det enklaste exemplet på en bivektor med positiv kvadrat är j = e01 då j2 = e01e01 = e0e1e0e1 = −e0e1e1e0 = −e0e0 = 1. Med detta så ser vi att om vi sätter j = e01 i formeln för rotationer ovan så får vi att exp (φj 2 ) = ∞∑ k=0 1 k! (φj 2 )k = ∞∑ k=0 1 (2k)! (φ 2 )2k + j ∞∑ k=0 1 (2k + 1)! (φ 2 )2k+1 = cosh( φ 2 ) + jsinh( φ 2 ). Vi noterar att e2 och e3 kommuterar med e01, e2e01 = e2e0e1 = −e0e2e1 = e0e1e2 = e01e2 e3e01 = e3e0e1 = −e0e3e1 = e0e1e3 = e01e3, detta betyder att e2 och e3 kommuterar med exp ( φj 2 ) vilket ger oss exp (−φj 2 ) e2exp (φj 2 ) = exp (−φj 2 ) exp (φj 2 ) e2 = e2 9 exp (−φj 2 ) e3exp (φj 2 ) = exp (−φj 2 ) exp (φj 2 ) e3 = e3. För e0 får vi exp (−φj 2 ) e0exp (φj 2 ) = (cosh( φ 2 )− jsinh( φ 2 ))e0(cosh( φ 2 ) + jsinh( φ 2 )) = (cosh( φ 2 )− jsinh( φ 2 ))(e0cosh( φ 2 − e1sinh( φ 2 )) = e0cosh(φ)− e1sinh(φ) och en helt analog beräkning ger exp (−φj 2 ) e1exp (φj 2 ) = e1cosh(φ)− e0sinh(φ). Sammanfattningsvis får vi att om vi roterar i Minkowskirummet med bivektorn j = e01 gäller följande e1 7→ e1cosh(φ)− e0sinh(φ) e2 7→ e2 e3 7→ e3 e0 7→ e0cosh(φ)− e1sinh(φ) vilket är precis samma förhållande som vi fick från Lorentztransformationen som vi härledde ti- digare i (6). Alltså kan en Lorentztransformation beskrivas som en rotation i Minkowskirummet. Om u ∈ span{e1, e2, e3} är en enhetsvektor och vi låter bivektorn j vara j = e0u då får vi att j2 = (e0u)2 = e0ue0u = −ue0e0u = uu = 1 och vi kan generalisera beräkningarna ovan till en allmän enhetsvektor u i stället för e1 genom att välja en ON-bas där u ingår som basvektor och sedan tillämpa Sats 3.4. Vi sammanfattar detta med följande sats. Sats 4.2. Låt {e0, e1, e2, e3} vara en ON-bas för Minkowskirummet W. Sätt j = e0u, där u ∈ span(e1, e2, e3) är en enhetsvektor, då ger v 7→ exp( −φj 2 )vexp( φj 2 ), v ∈W Lorentztransformationen längs vektorn u med hastighet tanh(φ). En rotation som den ovan där kvadraten av en bivektor är positiv kallar vi för en hyperbolisk rotation, en rotation med en bivektor vars kvadrat är negativ kallar vi för elliptisk rotation och en rotation med en bivektor j sådan att j2 = 0 kallar vi för en parabolisk rotation. Läsaren kan enkelt bekräfta, genom att använda formeln (9) för en rotation, att en Parabolisk rotation med bivektor j ges av v 7→ (1− φj 2 )v(1 + φj 2 ). Givet en normaliserad bivektor j och någon rotationsvinkel φ ∈ R så sammanställer vi de olika typerna av rotationer nedan. Elliptisk : j2 = −1, exp (−φj 2 ) vexp (φj 2 ) = (cos( φ 2 )− jsin( φ 2 ))v(cos( φ 2 ) + jsin( φ 2 )) Hyperbolisk : j2 = +1, exp (−φj 2 ) vexp (φj 2 ) = (cosh( φ 2 )− jsinh( φ 2 ))v(cosh( φ 2 ) + jsinh( φ 2 )) Parabolisk : j2 = 0, exp (−φj 2 ) vexp (φj 2 ) = (1− φj 2 )v(1 + φj 2 ). 10 5 Himmelssfären 5.1 Himmelssfären och Minkowskirummet Vi har hittills sett hur hastighetsförändringar transformerar rums- och tidskoordinater för en hän- delse. Vi vänder oss nu mot ett mer konkret problem: hur upplever en människa rent visuellt en Lorentztransformation? För detta ändamål ska vi introducera ett nytt matematiskt objekt, himmelssfären, och studera dess egenskaper. Vi tänker oss att vi befinner oss vid plats (0, 0, 0) vid tidpunkten 0 i vårt universum, dvs vid Minkowskirummets origo. Vad kan vi se på denna plats i detta ögonblick? Vad vi ser är i själva verket ljuset från en händelse som når våra ögon, och de händelser vi kan se i detta ögonblick är de vars ljus når fram till oss. För en sådan händelse (t, x, y, z) gäller naturligtvis att t < 0, då vi inte kan se in i framtiden. Vidare färdas ljuset från händelsen sträckan √ x2 + y2 + z2 på t sekunder i hastighet 1; detta innebär att x2 + y2 + z2 − t2 = 0. De händelser vi ser är alltså precis de som ligger på den dåtida ljuskonen. Ljuset från en sådan händelse träffar våra ögon ur riktningen (x, y, z). Om (t, x, y, z) ∈Wl− gäller även att linjen s(t, x, y, z) ∈Wl− ∀s > 0. I riktningen (x, y, z) ser vi alltså samtidigt ljuset från alla händelser på denna linje. Detta är svårt att föreställa sig, men i vår simulering kommer vi att arbeta i ett statiskt universum där det på linjen [(t, x, y, z)]1 endast ligger ett enda statiskt föremål (en stjärna), vilket är vad vi observerar i nämnda riktning. Eftersom vi endast kan se en sak i varje riktning visar resonemanget ovan att vår upplevelse av Lorentztransformationen handlar om hur den förändrar den riktning som ljuset från en händelse når oss från. På grund av identifikationen av riktningsvektorer i R3 med linjer på den dåtida ljuskonen introducerar vi följande objekt. Himmelssfären består av alla linjer [v] på ljuskonen där v 6= 0. Antag att vi, i vår referensram, har tidskoordinat e0. v 7→ [v − e0] (10) är då en bijektiv avbildning av enhetssfären i R3 på himmelssfären. [v − e0] är linjen på ljuskonen på vilken alla händelser vi ser i riktning v befinner sig. Lorentztransformationen T är linjär och avbildar linjen [v−e0] på linjen [T (v−e0)]. I egenskap av isometri avbildar T även ljuskonen på sig själv, och T inducerar därför en avbildning på Himmelssfären genom T [v−e0] = [T (v−e0)]. Genom bijektionen med enhetssfären motsvarar detta en avbildning TS2 på enhetssfären, där TS2(v) är den unika punkt på enhetssfären sådan att [TS2(v)− e0] = [T (v− e0)]. När vi hädanefter talar om himmelssfären syftar vi på enhetssfären S2 genom identifikationen (10). Hur ska vi tolka TS2(v)? Låt v vara riktningen i vilken vi observerar en händelse. Händelsen lig- ger då på linjen [v−e0] på ljuskonen. En observatör som färdas i riktning och hastighet motsvarande Lorentztransformationen T upplever att händelsen i stället ligger på linjen [T (v− e0)]. Riktningen i vilken denna observatör observerar händelsen är den enhetsvektor som spänner upp linjen av rumskoordinaterna för alla händelser på linjen, dvs den vektor u sådan att [u− e0] = [T (v − e0)], dvs u = TS2(v). TS2(v) är alltså riktningen i vilken den rörliga observatören observerar händelsen. 5.2 Himmelssfären i ekvatoriella koordinatsystemet Ett objekts position på himmelssfären anges vanligen med hjälp av astronomiska koordinatsystem. Ett exempel på ett sådant är ekvatoriella koordinatsystemet som har himmelsekvatorn som grund- plan och jordaxeln som z-axel. Himmelsekvatorn är projektionen av ekvatorn. Vinkelkoordinaterna deklination och rektascension bestämmer objektets position på himlen, som till exempel kan vara en stjärna. Deklinationen och rektascensionen kan jämföras med hur latitud respektive longitud mäts på jorden. 1[v] betecknar den linje som spänns upp av vektorn v. 11 Figur 3: Himmelssfären i det ekvatoriella koordinatsystemet. De två storcirklarna representerar himmelsekvatorn och ekliptikan på himmelssfären, som skär varandra i vårdagsjämningspunkten. Rektascensionen mäts med den lila pilen längs med ekvatorn och deklinationen är vinkeln mellan himmelsekvatorn och den gröna pilen. Den röda punkten är himmelsnordpolen på himmelssfären. Med en lutning på ungefär 23, 5◦ från himmelsekvatorn befinner sig ekliptikan som är banan som representerar solens position på himlen under ett år. Även planeternas banor samt zodia- kens stjärnbilder befinner sig längs med ekliptikan. De två punkterna där himmelsekvatorn och ekliptikan skär varandra är höst- och vårjämningsdagarna. Rektascensionen bestäms från vårdags- jämningspunkten mätt mot öster längs med himmelsekvatorn och anges i timmar, minuter och sekunder så att 24 timmar utgör ett helt varv runt himmelsekvatorn. Deklinationen mäts i rät vinkel mot himmelsekvatorn och är mellan 0◦ och 90◦ på norra halv- klotet och mellan 0◦ och −90◦ på södra halvklotet. Den anges i grader [◦], bågminuter [’] och bågsekunder [”]. Vinkelmåtten bågminuter samt bågsekunder motsvarar 1/60 resp 1/3600 av en grad. De stjärnbilder som ska visualiseras är både från norra och södra hemisfären. Samtliga stjär- nor som ingår i dessa anges i dess deklination och rektascension på himmelssfären samt skenbar magnitud. Skenbar magnitud är ett mått på stjärnans ljusstyrka mätt från jorden. Den är given i logaritmisk skala så att ju lägre magnituden är desto starkare lyser stjärnan. En stjärna med skenbara magnituden 6,5 är den minsta stjärna som människan kan beskåda med blotta ögat. Då en Lorentztransformation mot norra polstjärnan utförs ändras stjärnornas koordinater på him- melssfären. 6 Stereografisk projektion och Möbiusspeglingar Värt att notera är att beräkningarna av Lorentztransformationen blir besvärliga då de utförs direkt på himmelssfären. Dessa underlättas då himmelssfären projiceras på ett plan där i stället dess motsvarighet till Lorentztransformationen kan beräknas. I nästkommande avsnitt definieras en sådan avbildning, kallad stereografisk projektion, med egenskapen att den är en Möbiusavbildning. 6.1 Stereografisk projektion och Möbiusavbildningar Stereografisk projektion är avbildningen av ytan på en tredimensionell sfär till ett tvådimensonellt plan. Den är definierad för alla punkter på sfären bortsett från en fix projektionspunkt, som här valts till himmelsnordpolen e3. Vidare definieras här sfären som enhetssfären S2 i R3 och planet som R2, men projektionen behöver inte vara ortogonal i allmänhet. Definition 6.1. Den stereografiska projektionen S2 \ {e3} 3 x̄ = 2x |x|2 + 1 + |x|2 − 1 |x|2 + 1 e3 7→ x′ 1− x3 = x ∈ R2, där x′ ∈ R2 och x3 ∈ [−1, 1], är skärningen i planet av den raka linje som skär punkterna e3 och x̄. Se figur 4. 12 e3 x x origo R2 Figur 4: Stereografisk projektion av x̄ ∈ S2 till x ∈ R2. Genom den stereografiska projektion, definierad enligt definition 6.1, avbildas samtliga punkter på nedre halvsfären av S2 \ {e3} på och innanför enhetscirkeln i R2. Speciellt avbildas −e3 på origo. Övriga punkter på R2 utgör avbildningen av ytan på den övre halvsfären av S2 \ {e3}. Avstånden mellan punkterna på sfären är mindre än avstånden mellan punkterna på planet, då de trycks ihop på sfären. Till följd av detta ändras längd och form på de objekt som avbildas genom stereografisk projektion, men däremot är placeringen av dem i relation till varandra bevarad. En avbildning som har dessa egenskaper kallas konform. Proposition 6.2. Avbildningen som avser den stereografiska projektionen S2 → R2 ges av S2 \ {e3} 3 x̄ 7→ (e3x̄+ 1)(x̄− e3)−1 ∈ R2 (11) Bevis. Vi vill visa att om y är en punkt på enhetssfären så är dess avbildning på R2 lika med definitionen för den stereografiska projektionen i definition 6.1. Låt y = x̄ ∈ S2 \ {e3}. Då är |x̄− e3|2 = 2− 2 < x̄, e3 >= 2(1− x3) och vi får (e3x̄+ 1)(x̄− e3)−1 = (e3x̄+ 1)(x̄− e3) 2(1− x3) = e3 − e3x̄e3 + x̄− e3 2(1− x3) = x′ 1− x3 som är definitionen av den stereografiska projektionen på R2. Vi minns från komplex analys att en Möbiusavbildning är en inverterbar avbildning av en komplex variabel z på formen z 7→ (az + b)(cz + d)−1, där koefficienterna a, b, c och d är komplexa tal och villkoret ad− bc 6= 0 måste gälla för att avbild- ningen ska vara inverterbar. Uttrycket för den stereografiska projektionen på R2 i (11) är på denna form, varav den således är en Möbiusavbildning. Komplex analys behandlar inte Möbiusavbildning- ar i dimensioner högre än två av det euklidiska vektorrummet, men däremot kan vår stereografiska projektion i R3 beräknas med Cliffordalgebran. Konceptet är detsamma som i två dimensioner, med undantag av att z nu är en vektor som avbildas på multivektorn (az + b)(cz + d)−1. Koef- ficienterna a, b, c och d är multivektorer som bevarar elementen i delrummet ∧1R3, vektorerna, vilket kan visas genom att faktorisera Möbiusavbildningen i de fyra grundläggande Möbiusavbild- ningarna: translation, dilation, rotation och inversion. Det gäller att varje Möbiusavbildning är en sammansättning av ett ändligt antal av dessa och de definieras i R3 enligt följande 1. Translation av vektorn y ∈ R3 med hjälp av en annan vektor v ∈ R3 är avbildningen y 7→ y + v ∈ R3. 2. Dilation av vektorn y ∈ R3 med faktorn c ∈ R \ {0} är avbildningen y 7→ cy ∈ R3. 3. Rotation, se sats 4.1. 13 4. Inversion av vektorn y ∈ R3 \ {0} är avbildningen y 7→ y−1 = y |y|2 ∈ R3 \ {0}. Speciellt avbildas området inuti enhetssfären till området utanför och omvänt, medan ytan av S2 avbildas på sig självt. De beräkningar som avser Möbiusavbildningar utförs enklast genom att använda matrisrepre- sentation. Proposition 6.3. En Möbiusavbildning z 7→ (az + b)(cz + d)−1, där a, b, c, d är multivektorer i ∧R3, kan med hjälp av Cliffordalgebran representeras av matrisen( a b c d ) . Bevis. Låt f ( a b c d ) (z) = (az + b)(cz + d)−1, (12) där a, b, c, d är multivektorer i ∧R3 och ( a b c d ) är en matris. Genom att visa att f ( a b c d ) ◦ f ( a′ b′ c′ d′ ) (z) = f (( a b c d )( a′ b′ c′ d′ )) (z) bevisas påståendet att en Möbiusavbidning kan skrivas på matrisform. För att undvika långa uttryck, sätt s = a′z + b′ och t = c′z + d′. Med hjälp ekvation (11) och Cliffordprodukten får vi att f ( a b c d ) ◦ f ( a′ b′ c′ d′ ) (z) = (ast−1 + b)(cst−1 + d)−1 = (as+ bt)(cs+ dt)−1 = ((aa′ + bc′)w + ab′ + bd′))((ca′ + dc′)w + (cb′ + dd′))−1 = f (( aa′ + bc′ ab′ + bd′ ca′ + dc′ cb′ + dd′ )) (z) = f (( a b c d )( a′ b′ c′ d′ )) (z) 6.2 Möbiusspegling För att underlätta räkningarna i avsnitt 6.3 introducerar vi speglingar med hjälp av Cliffordalgebra. Låt a ∈ W vara en icke ljuslik vektor och v ∈ W en vektor. Speglingen S av v i hyperplanet som är ortogonalt till a ges av följande ekvation S(v) = −ava−1 där a−1 = a/(a · a) enligt sats 3.5. Om a · a = 1 så kan speglingen skrivas som S(v) = −ava. Enligt Cartan-Dieudonnés sats utgör varje isometri i ett inre produktrum en sammansättning av speglingar i hyperplan [4]. Faktum är att två speglingar utgör en rotation i Minkowskirummet. Det betyder alltså att Lorentztransformationen, som är en hyperbolisk rotation, kan skrivas som en sammansättning av två speglingar: T (v) = (−a2)(−a1)v(a1)−1(a2)−1. Detta är ett värdefullt resultat då det möjliggör för oss att finna en Möbiusspegling - den avbildning på enhetssfären som motsvarar en spegling i W . I satsen introducerar vi TR2 som är den avbildning i planet R2 som representerar Möbiusavbildningen på enhetssfären. Med denna avbildning utför vi således räkningarna på R2 snarare än på S2. 14 Sats 6.4. Vi har Minkowskirummet W med ON-bas {e0, e1, e2, e3}. För en vektor v ∈ W utgör följande ekvation T (v) = −(a+ a3e3 + a0e0)v(a+ a3e3y + a0e0)−1 en spegling i hyperplanet ortogonalt till multivektorn a + a3e3 + a0e0 ∈ W , med a ∈ R2 och R2 = span{e1, e2}. Dessutom gäller villkoret a20 6= |a|2 + a23. Den Möbiusavbildning som motsvarar speglingen ges då av TR2(x) = (−ax+ (a3 − a0))((a3 + a0)x+ a)−1 för x ∈ R2. Bevis. För att underlätta räkningarna skriver vi a′ := a + a3e3. Vi väljer en punkt x ∈ P (W ) så att vektorn −e0 + x ligger på den dåtida ljuskonen Wl−. Vi får då T (−e0 + x) = −(a0e0 + a′)(−e0 + x)(a0e0 + a′)−1 = k(a0e0 + a′)(−e0 + x)(a0e0 + a′) = k(a20e0 + a20x+ a0a ′ + a0a ′xe0 + a0a ′ + a0xa ′e0+ = k((a20 + 2a0(a′ · x) + |a′|2)e0 + (a20x+ 2a0a ′ + a′xa′)) ∈Wl med k ∈ R och k 6= 0. Vi normaliserar nu koefficienten till e0 till −1. Vi gör detta för att kunna tillämpa vårt tidigare härledda samband [TS2(x)− e0] = [T (−e0 + x)]. Då a20 + 2a0(a′ · x) + |a′|2 = |a0x+ a′|2 dividerar vi vårt uttryck med detta och vi får följaktligen T (−e0 + x) = −e0 − (a20x+ 2a0a ′ + a′xa′) (a20 + 2a0(a′ · x) + |a′|2) = −e0 − (a′x+ a0)(a0x+ a′) |a0x+ a′|2 Vi har nu följande ekvation TS2(x)− e0 = −e0 − (a′x+ a0)(a0x+ a′) |a0x+ a′|2 ur vilken vi får vår inducerade avbildning TS2(x) TS2(x) = − (a′x+ a0)(a0x+ a′) |a0x+ a′|2 = − (a′x+ a0) (a0x+ a′) = a′x+ a0 −a0x− a′ = (a′x+ a0)(a0x+ a′)−1 vilket är den Möbiusavbildning på enhetsfären S2 som motsvarar vår spegling T . Då det är be- svärligt att utföra beräkningar på enhetssfären finner vi avbildningens motsvarande avbildning på planet R2 = span{e1, e2} med hjälp av stereografisk projektion; vi tillämpar avbildningen (e3yx+ 1)(x− e3)−1 för dessa räkningar. Vi kommer se att de avbildningar vi arbetar med antar en särskilt enkel form i planet R2. Räkningarna som följer gör vi enklast med matrisrepresentation av Möbiusavbildingar. Matrisen som representerar vår härledda Möbiusavbildning ges av:( a′ a0 −a0 −a′ ) Vi vänster- och högermultiplicerar med matrisen som representerar vår stereografiska projektion:( e3 1 1 −e3 )( a′ a0 −a0 −a′ )( e3 1 1 −e3 ) = 2 ( −a a3 − a0 a3 + a0 a ) Vi kan bortse från konstanten 2 då den kan förkortas bort i formeln till den inducerade avbildningen. Den inducerade Möbiusavbildningen i planet R2 ges av följande ekvation. TR2(x) = (−ax+ (a3 − a0))((a3 + a0)x+ a)−1 15 6.3 Inducerade avbildningar på planet Vi härleder nu Lorentztransformationens inducerade avbildning TR2 på R2 och använder den för att beskriva den visuella upplevelsen. Lorentztransformationen T i riktning e3 med hastighet tan(φ) kan skrivas T (x) = exp(−φe0e3 2 )xexp( φe0e3 2 ) (cosh( φ 2 )− e0e3sinh( φ 2 ))x(cosh( φ 2 ) + e0e3sinh( φ 2 )) = −(cosh( φ 2 )e3 − e0sinh( φ 2 ))(−e3xe3)(cosh( φ 2 )e3 − e0sinh( φ 2 )) och vi ser att T är sammansättningen av spegling i planet ortogonalt mot e3 och spegling i planet ortogonalt mot cosh(φ2 )e3 − e0sinh(φ2 ). Vi använder vår formel för den inducerade Möbiusavbild- ningen i R2, som vi skriver med matrisrepresentation. För spegling med e3 har vi att a = a0 = 0 och a3 = 1. Denna spegling representeras därför av matrisen( 0 1 1 0 ) . För den andra speglingen gäller i stället att a = 0, a3 = cosh(φ2 ) och a0 = sinh(φ2 ). Vi får att a3 − a0 = exp(φ2 ) och a3 + a0 = exp(−φ2 ). Den inducerade Möbiusavbildningen representeras då av matrisen ( 0 exp(φ2 ) exp(−φ2 ) 0 ) . TR2 representeras av sammansättningen av dessa matriser:( 0 exp(φ2 ) exp(−φ2 ) 0 )( 0 1 1 0 ) = ( exp(φ2 ) 0 0 exp(−φ2 ) ) så att TR2(x) = (exp( φ 2 )x)(exp(−φ 2 ))−1 = exp(φ)x. Vi kan nu ge en geometrisk beskrivning av den upplevda Lorentztransformationen. För positiva hastigheter, där φ > 0, färdas punkten x i figur 4 längs en rak linje bort från origo. Detta motsvaras av att punkten x̄ förflyttar sig i en rak kurva in mot e3. En person som färdas mot polstjärnan kommer därmed uppleva att stjärnorna pressas ihop i en omgivning till polstjärnan vid höga hastigheter. På samma sätt kan vi beskriva upplevelsen av en parabolisk rotation. Låt j = (e0 + e3)a, där a ∈ R2 är en normerad vektor, så att j2 = 0 och exp(−φ 2 j)xexp( φ 2 j) = (1− φ 2 (e0 + e3)a)x(1 + φ 2 (e0 + e3)a) = −(a− φ 2 (e3 + e0))(−axa)(a− φ 2 (e3 + e0)). Med matrisrepresentation och sats 6.5 ser vi att speglingen i a motsvaras av( −a 0 0 a ) och speglingen i (a− φ 2 (e0 + e3)), där a0 = φ 2 och a3 = φ 2 , av( −a φ 0 a ) med sammansättning 16 ( −a φ 0 a )( −a 0 0 a ) = ( 1 φa 0 1 ) och motsvarande avbildning x 7→ x + φa. Den paraboliska rotationen translaterar alltså R2 φ längdenheter i riktning a. Läsaren uppmanas att själv bilda sig en uppfattning om motsvarande avbildning på sfären. 7 Visualisering av himmelssfären För att enkelt visualisera himmelsfären så kommer vi att projicera sfären på ett plan. Eftersom att rektascensionen inte förändras av en Lorentztransformation så är vi enbart intresserade av hur deklinationen förändras. Vi påpekar att denna projektion inte är en Möbiusavbildning utan vi använder denna projektion för att enkelt kunna visualisera himmelssfären. Projektionen sker enligt figur 5 nedan. C x̄ θ O r e3 Figur 5: Projektion av himmelsfären. Här är θ deklinationen för punkten x̄ på sfären och C är projektion av x̄ på det övre planet. Om vi låter r vara storleken av C i det övre planet i figuren, då ger grundläggande trigonometri oss att r = cot(θ). Gör vi variabelbytet θ′ = π 2 − θ får vi förhållandet r = tan(θ′). Om vi låter x vara den stereografiska projektionen av x̄ enligt figur 6 nedan, då ser vi får två x x̄ θ O e3 Figur 6: Stereografisk projektion rätvinkliga trianglar. En av de rätvinkliga trianglarna utgörs av x̄,x och planet som x ligger i och den andra utgörs av e3, x och det nedre planet i figur 6. Dessa två trianglar är likformiga vilket ger oss |x| = |x| − cos(θ) sin(θ) =⇒ |x| = sin(θ) 1− cos(θ) och gör vi återigen variabelbytet θ′ = π 2 − θ får vi |x| = sin(θ) 1− cos(θ) = sin(π2 − θ ′) 1− cos(π2 − θ′) = cos(θ′) 1− sin(θ′) = cot( θ′ 2 ) 17 alltså får vi förhållandet |x| = cot( θ′ 2 ) mellan x och deklinationen. Vi såg tidigare i avsnitt 5.3 att om vi gör en hyperbolisk rotation, som ger oss en Lorentztransformation, på x̄ då ändras x enligt x 7→ exp(φ)x. Använder vi identiteten exp(t) = √ 1 + tanh(t) 1− tanh(t) och att vi har relationen v = tanh(φ) mellan hastigheten v och φ så får vi att x ändras enligt x 7→ √ 1 + v 1− v x. Sätter vi λ = √ 1+v 1−v så får vi att θ′ ändras enligt θ′ 7→ cot( θ′ 2 ) 7→ λcot( θ′ 2 ) 7→ 2arccot(λcot( θ′ 2 )) när vi utför en hyperbolisk rotation på x̄. Vi ser att om v → 1 så går λ → ∞ vilket betyder att 2arccot(λcot( θ ′ 2 )) går mot noll, detta ger oss att när en observatör färdas nära ljusets hastighet så kommer stjärnhimmelen att koncentreras framför observatören i färdriktningen. Med allt detta så kan vi nu slutligen visualisera himmelssfären och se de relativistiska effekterna. I följande figurer har vi använt det vi beskrivit ovan för att visualisera himmelssfären. Koordinaterna för stjärnorna samt koden vi har använt för att skapa bilderna finns i bilagor A, B och C. Figur 7: Himmelssfären för en stationär observatör och en observatör som färdas vid 60 % av ljusets hastighet. I den första plotten i figur 7 så ser vi stjärnbilderna Cassiopeja, Lilla Björnen, Stora Björn, Cepheus, Perseus, Kusken och i den andra plotten där en observatör färdas i 60% av ljusets has- tighet så har även stjärnbilderna Kräftan, Orion, Lejonet, Pegasus, Oxen, Tvillingarna, Jungfrun, Örnen och Fiskarna kommit in i bilden. 18 Figur 8: Himmelssfären för en observatör som färdas 80% och 90% av ljusets hastighet I den första plotten i figur 8 så ser vi vad en observatör som färdas 80 % av ljusets hastighet ser och då ser vi hela konstellationen av Vågen, Stenbocken och Vattumannen och på den andra bilden, där en observatör färdas 90% av ljusets hastighet, så ser vi även Bildhuggaren, Södra Fisken, Södra Kronan och Skytten. Alltså har konstellationer på den södra stjärnhimlen börjat komma in i bilden för en observatör som färdas i 90% av ljusets hastighet Figur 9: Himmelssfären för en observatör som färdas 95% och 97% av ljusets hastighet I den första plotten i figur 9, där en observatör färdas i 95% av ljusets hastighet, så har konstellationerna Tranan, Skorpionen, Vargen och Kentauren kommit fram i bilden. Slutligen i den andra plotten i figur 9 där en observatör färdas i 97% av ljusets hastighet så ser vi även Södra Korset och Kölen. De fyra blå prickarna längst ner på den andra plotten i figur 9 är Södra Korset som ligger i nästan diametralt motsatt position på himmelssfären som Lilla Björn, som ligger vid origo i de övre figurerna. Alltså kommer en observatör som färdas i 97% av ljusets hastighet se till stora delar hela himmelen. Vi har tidigare diskuterat paraboliska rotationer och vi såg i avsnitt 6.3 att om vi gör en parabolisk rotation med bivektor j = a(e3 + e0) på himmelssfären så ändras x ∈ span{e1, e2} enligt x 7→ x+ φa. I figur 10 så har vi gjort en parabolisk rotation med a = −e1 och φ = 2. 19 Figur 10: Parabolisk rotation av himmelssfären Den fysikaliska tolkningen av en parabolisk rotation är inte helt självklar men den paraboliska rotationen v 7→ exp(e1(e3 + e0))vexp(−e1(e3 + e0)) = (1 + e1(e3 + e0)v(1− e1(e3 + e0)) som vi använt i figur 10 kan skrivas som v 7→ exp( −π 8 e13)( √ 2 + e03)exp( 3π 8 e13)vexp( −3π 8 e13)( √ 2− e03)exp( π 8 e13) vilket är en sammansättning av två vanliga rotationer och en hyperbolisk rotation. Vi kan alltså tolka figur 10 som hur stjärnhimmelen ser ut för en observatör som först gör en vanlig rotation sedan en Lorentztransformation och sedan ytterligare en vanlig rotation. 8 Slutsats Om vi, dessförinnan vi tagit del av denna rapport, ställt oss frågan hur himlen, med alla sina stjärnor, ser ut för någon som färdas mot himmelsnordpolen i en hastighet som närmar sig ljusets, hade svaret troligen kunnat efterliknas med synen av gatulampor som sveper förbi ett bilfönster en mörk kväll. På samma sätt som ljuset från en gatulampa färdas mot dig, sittandes i bilen, får vi en bild av hur stjärnorna gör detsamma då vi befinner oss i ett förbipasserande rymdskepp. Detta är även den bild som de flesta moderna science fiction-filmer demonstrerar så det är inte så underligt att detta är vår första intuition. Efter att ha studerat himmelssfärens verkliga utseende, kan slutsatsen dras att denna inte överensstämmer med vår första intuition. Under Lorentztransformationen mot himmelsnordpolen förflyttas samtliga stjärnor mot varandra och bildar en samling av tätt placerade stjärnor i den punkt observatören färdas mot. Även de stjärnor som, innan observatören lämnade jorden, befann sig på södra halvklotet förflyttas på samma sätt så att de blir synliga för den observatör som färdas mot nordpolen. Detta resultat gör att stjärnorna upplevs färdas i samma riktning som observatören och minskat i storlek. Ett viktigt konstaterande beträffande denna uppkommande geometri i Minkowskirummet är inte endast det resultat som åstadkommits, utan med vilket matematiskt verktyg det gjorts. Med hjälp av Cliffordalgebran har grundläggande matematikkunskaper från såväl den linjära algebran som komplex analys möjliggjorts i dimensioner högre än två. Vidare har en omfattande förenkling vid beräkningar upptäckts, i jämförelse med den traditionella linjära algebran som oftast tillämpas inom området. Vi matematiker vill ju ofta inte krångla till det för oss mer än nödvändigt och det är därför beklagligt att Cliffordalgebran inte fått mer av den uppskattning som den förtjänar. Oavsett tillvägagångssätt blir resultaten alltid desamma, något som gör matematiken så fantastisk. 20 Referenser [1] W. Clifford, Äpplications of Grassmann’s Extensive Algebra", American Journal of Mathe- matics, Vol 1, No. 4, pp. 350-358, 1878. [2] W. Isaacson, Einstein: His Life and Universe, London: Simon & Schuster, 2008. [3] M. Riesz, Clifford Numbers and Spinors, Berlin: Springer, 1993. [4] A. Rosén, Geometric Multivector Analysis, 1 uppl., Basel: Birkhäuser, 2019. 21 A Stjärnkoordinater 1 %% S t j n k o o r d i n a t e r 2 % S t j r n k o o r d i n a t e r f r n g r a s t j r n b i l d e r 3 % En s t j r n b i l d anges som en matris , d r raderna u t g r va r j e en s k i l d 4 % s t j r n a och kolonnerna u t g r dess egenskaper ; d ek l i n a t i on [ ] , 5 % dek l i n a t i on [ ’ ] , r e k t a s c en s i on [ h ] , r e k t a s en s i on [ min ] , skenbar magnitud . 6 7 % S d r a h em i s f r e n (14 s t ) 8 crux=[−63, −5, 12 , 26 , 0 . 7 7 ; % s d r a ko r s e t 9 −59, −41, 12 , 47 , 3 ; 10 −58, −44, 12 , 15 , 5 . 5 7 ; 11 −57, −6, 12 , 31 , 2 ] ; 12 l i b r a =[−16, −43, 15 , 53 , 4 . 1 3 ; % v g e n 13 −14, −47, 15 , 35 , 4 ; 14 −25, −16, 15 , 4 , 6 . 5 ; 15 −16, −2, 14 , 50 , 2 . 7 5 ; 16 −9, −22, 15 , 17 , 2 . 6 ] ; 17 grus=[−37, −21, 21 , 53 , 3 ; % tranan 18 −39, −32, 22 , 6 , 4 . 5 ; 19 −46, −57, 22 , 8 , 1 . 7 ; 20 −43, −29, 22 , 29 , 4 ; 21 −43, −31, 23 , 6 , 4 . 3 ; 22 −45, −14, 23 , 10 , 3 . 8 ; 23 −46, −53, 22 , 42 , 4 . 1 ; 24 −51, −19, 22 , 48 , 3 . 5 ; 25 −52, −45, 23 , 0 , 4 . 1 ] ; 26 s cup l t o r =[−37, −49, 23 , 32 , 4 . 4 ; % bi ldhuggaren 27 −32, −31, 23 , 18 , 4 . 4 ; 28 −29, −21, 0 , 58 , 4 . 3 ] ; 29 p i s c i s a u =[−29, −37, 22 , 57 , 1 . 1 7 ; % 30 −27, −2, 22 , 40 , 4 . 2 ; 31 −28, −27, 22 , 0 , 5 . 4 3 ; 32 −30, −53, 21 , 47 , 5 ; 33 −32, −32, 22 , 10 , 5 ; 34 −32, −32, 22 , 55 , 4 . 2 ] ; 35 capr i co rn=[−16, −7, 21 , 47 , 2 . 8 5 ; % stenbocken 36 −16, −39, 21 , 40 , 3 . 7 ; 37 −16, −50, 21 , 22 , 4 . 3 ; 38 −22, −24, 21 , 26 , 3 . 7 7 ; 39 −17, −13, 21 , 5 , 4 ; 40 −26, −55, 20 , 51 , 4 . 1 2 ; 41 −14, −46, 20 , 21 , 3 ; 42 −12, −32, 20 , 18 , 3 . 6 ; 43 −25, −16, 20 , 46 , 4 . 1 ] ; 44 s c o rp i u s =[−37, −6, 17 , 33 , 1 . 6 ; % skorp ionen 45 −39, −1, 17 , 42 , 2 . 4 ; 46 −40, −7, 17 , 47 , 3 ; 47 −42, −59, 17 , 37 , 1 . 9 ; 48 −43, −14, 17 , 12 , 3 . 3 ; 49 −42, −21, 16 , 54 , 3 . 6 ; 50 −38, −2, 16 , 51 , 3 ; 51 −34, −17, 16 , 50 , 2 . 3 ; 52 −28, −12, 16 , 35 , 2 . 8 ; 53 −26, −25, 16 , 29 , 1 ; 22 54 −19, −48, 16 , 5 , 2 . 6 ; 55 −22, −37, 16 , 0 , 2 . 3 ; 56 −26, −6, 15 , 58 , 2 . 9 ] ; 57 coronaaus=[−42, −42, 18 , 56 , 5 . 3 ; 58 −42, −5, 19 , 3 , 4 . 7 ; 59 −40, −29, 19 , 8 , 4 . 5 ; 60 −39, −20, 19 , 10 , 4 . 1 ; 61 −37, −54, 19 , 9 , 4 . 1 ; 62 −37, −3, 19 , 6 , 4 . 3 ; 63 −37, −6, 18 , 58 , 4 . 8 ; 64 −38, −19, 18 , 43 , 5 . 1 ; 65 −39, −42, 18 , 32 , 5 . 2 ] ; 66 lupus=[−49, −25, 14 , 37 , 4 ; % vargen 67 −52, −5, 15 , 12 , 3 . 4 ; 68 −47, −23, 14 , 41 , 2 . 3 ; 69 −45, −22, 14 , 26 , 4 . 3 ; 70 −43, −8, 14 , 58 , 2 . 7 ; 71 −40, −38, 15 , 21 , 3 . 2 ; 72 −36, −15, 15 , 21 3 . 6 ; 73 −41, −10, 15 , 35 , 2 . 8 ; 74 −42, −34, 15 , 38 , 4 . 3 ; 75 −38, −23, 16 , 0 , 3 . 4 ; 76 −36, −48, 16 , 6 , 4 . 2 ; 77 −33, −37, 15 , 50 , 4 ] ; 78 octans=[−83, −40, 14 , 26 , 4 . 3 1 ; % oktanten 79 −77, −23, 21 , 41 , 3 . 7 3 ; 80 −77, −15, 0 , 25 , 2 . 8 ] ; 81 ca r ina=[−40, 0 , 8 , 3 , 2 . 2 5 ; % k l e n 82 −47, −20, 8 , 9 , 1 . 8 3 ; 83 −59, −30, 8 , 22 , 1 . 8 6 ; 84 −52, −41, 6 , 23 , −0.74; 85 −43, −11, 6 , 37 , 3 . 1 7 3 ; 86 −59, −16, 9 , 17 , 2 . 2 1 ; 87 −61 −19 10 17 3 . 3 4 ; 88 −58 −44 10 27 3 . 8 1 ; 89 −59 −13 8 31 8 . 0 6 ; 90 −60 −33 10 43 4 . 5 8 ; 91 −64 −23 10 42 2 . 7 6 ; 92 −70 −2 10 13 3 . 2 9 ; 93 −69 −43 9 13 1 . 6 9 ; 94 −58 −51 10 53 3 . 7 9 ; 95 −59 −45 8 40 4 . 3 1 ; 96 −58 −58 9 10 3 . 4 3 ] ; 97 s a g i t t au ru s =[−40, −36, 19 , 23 , 3 . 9 7 ; % skytten 98 −41, −52, 19 , 55 , 4 . 1 1 8 ; 99 −24, −53, 19 , 36 , 4 . 5 9 ; 100 −27, −40, 19 , 6 , 3 . 3 2 6 ; 101 −29, −52, 19 , 2 , 2 . 5 9 ; 102 −26, −17, 18 , 55 , 2 . 0 5 ; 103 −21, −6, 18 , 57 , 3 . 5 1 ; 104 −21, −44, 19 , 04 , 3 . 7 7 1 ; 105 −17, −50, 19 , 21 , 3 . 9 3 ; 106 −26, −59, 18 , 45 , 3 . 1 7 ; 107 −25, −25, 18 , 27 , 2 . 8 2 ; 108 −29, −49, 18 , 20 , 2 . 7 0 ; 109 −21, −3, 18 , 13 , 3 . 8 5 ; 23 110 −34, −23, 18 , 24 , 1 . 8 5 ; 111 −36, −45, 18 , 17 , 3 . 1 1 ; 112 −27, −49, 17 , 47 , 4 . 5 4 ; 113 −44, −28, 19 , 22 , 4 . 0 1 ; 114 −44, −27, 19 , 22 , 4 . 0 1 ; 115 −35, −16, 19 , 59 , 4 . 3 7 ; 116 −30, −25, 18 , 5 , 2 . 9 8 ; 117 −27, −42, 20 , 2 , 4 . 5 4 ; 118 −18, −57, 19 , 17 , 4 . 8 8 ] ; 119 centaurus=[−36, −42, 13 , 20 , 2 . 7 3 ; % kentauren 120 −39, −24, 13 , 31 , 4 . 6 ; 121 −41, −41, 13 , 49 , 3 . 4 1 ; 122 −36, −22, 14 , 6 , 2 . 0 6 ; 123 −42, −28, 13 , 49 , 3 . 4 2 ; 124 −42, −9, 14 , 35 , 2 . 3 5 ; 125 −42, −6, 14 , 59 , 3 . 1 4 ; 126 −44, −48, 13 , 58 , 3 . 8 7 ; 127 −47, −17, 13 , 55 , 2 . 5 5 ; 128 −53, −27, 13 , 39 , 2 . 3 0 ; 129 −60, −22, 14 , 3 , 0 . 6 1 ; 130 −60, −50, 14 , 39 , 0 . 0 1 ; 131 −48, −57, 12 , 41 , 2 . 1 7 ; 132 −50, −13, 12 , 28 , 3 . 9 1 ; 133 −50, −43, 12 , 8 , 2 . 5 7 ; 134 −63, −1, 11 , 35 , 3 . 1 3 ; 135 −39, −30, 14 , 23 , 4 . 4 1 ] ; 136 aquar ius=[−20, −6, 23 , 22 , 3 . 9 7 ; % vattuman 137 −9, −5, 23 , 15 , 4 . 2 4 8 ; 138 −7, −34, 22 , 52 , 3 . 7 2 2 ; 139 0 , −7, 22 , 35 , 4 . 0 4 ; 140 0 , −1, 22 , 28 , 3 . 6 5 ; 141 −1, −23, 22 , 21 , 3 . 8 4 9 ; 142 0 , −19, 22 , 5 , 2 . 9 4 2 ; 143 −9, −29, 20 , 47 , 3 . 7 7 ; 144 −7, −46, 22 , 16 , 4 . 1 7 5 ; 145 −13, −52, 22 , 06 , 4 . 2 7 9 ; 146 −13, −35, 22 , 49 , 4 . 0 4 2 ; 147 −21, −10, 23 , 9 , 3 . 6 7 9 ; 148 −5, −34, 21 , 31 , 2 . 8 7 ; 149 −10, −4, 22 , 30 , 4 . 8 1 ; 150 −15, −49, 22 , 54 , 3 . 2 8 ] ; 151 152 % Norra h em i s f r e n (19 s t ) 153 cancer =[9 , 11 , 8 , 16 , 3 . 5 4 ; % k r f t a n 154 18 , 9 , 8 , 44 , 3 . 9 4 ; 155 11 , 51 , 8 , 58 , 4 . 2 4 ; 156 21 , 28 , 8 , 43 , 4 . 6 5 2 ; 157 28 , 45 , 8 , 46 , 4 . 0 2 ; 158 22 , 2 , 9 , 9 , 5 . 1 5 ] ; 159 a r i e s =[19 , 17 , 1 , 53 , 3 . 8 6 ; % v d u r e n 160 20 , 48 , 1 , 54 , 2 . 6 5 5 ; 161 23 , 27 , 2 , 7 , 2 ; 162 27 , 15 , 2 , 49 , 3 . 6 3 ] ; 163 ca s s =[59 09 00 09 2 ; 164 56 32 0 40 2 ; 165 60 43 0 56 2 ; 24 166 60 14 1 25 3 ; 167 63 40 1 54 3 . 5 ] ; 168 l i l l b j o =[89 15 2 31 2 ; % l i l l a b j r n e n 169 86 35 17 32 4 . 3 ; 170 82 2 16 45 4 ; 171 77 47 15 44 4 . 3 ; 172 74 09 14 50 2 . 2 ; 173 71 50 15 20 3 ; 174 75 45 16 17 5 ] ; 175 s t ob j o =[49 18 13 47 1 . 8 ; % s to ra b j r n e n 176 54 55 13 23 2 . 2 ; 177 55 57 12 54 1 . 8 ; 178 57 01 12 15 3 . 3 ; 179 61 45 11 03 2 ; 180 56 22 11 01 2 . 4 ; 181 53 41 11 53 2 . 4 ; 182 63 03 9 31 3 . 6 ; 183 60 43 8 30 3 . 4 ; 184 59 2 9 50 3 . 8 ; 185 51 40 9 32 3 . 2 ; 186 48 2 8 59 3 . 2 ; 187 47 9 9 3 3 . 5 ; 188 47 46 11 46 3 . 6 ; 189 44 29 11 09 3 ; 190 41 29 10 22 3 . 2 ; 191 42 54 10 17 3 . 5 ; 192 33 5 11 18 3 . 5 ; 193 31 31 11 18 4 . 4 ] ; 194 ceph=[77 37 23 39 3 . 3 ; % ca s s i o p e j a 195 66 11 22 49 3 . 5 ; 196 70 33 21 28 3 . 2 ; 197 62 35 21 18 2 . 5 ; 198 61 50 20 45 3 . 5 ; 199 62 59 20 29 4 . 3 ; 200 58 12 22 10 3 . 5 ; 201 57 2 22 15 4 . 2 ; 202 58 24 22 29 4 . 2 ] ; 203 or ion =[7 24 5 55 . 7 ; % or ion 204 9 56 5 35 3 . 4 ; 205 6 20 5 25 1 . 5 ; 206 −8 −12 5 14 . 3 ; 207 −9 −40 5 47 2 ; 208 0 −17 5 32 2 . 2 ; 209 −1 −12 5 36 1 . 7 ; 210 −1 −56 5 40 1 . 7 ; 211 −4 −50 5 35 4 . 5 ; 212 −5 −54 5 35 2 . 7 ; 213 −5 −23 5 35 5 ; 214 10 9 4 54 4 . 6 ; 215 8 54 4 50 4 . 3 ; 216 6 57 4 49 3 . 2 ; 217 5 36 4 51 3 . 6 ; 218 2 26 4 54 3 . 6 ; 219 1 42 4 58 4 . 5 ; 220 9 38 6 2 4 . 2 ; 221 14 12 6 11 4 . 3 ; 25 222 14 46 6 7 4 . 3 ; 223 20 8 6 3 4 . 6 ; 224 20 16 5 54 4 . 4 ] ; 225 per seus= [49 51 3 24 1 . 9 ; % per seus 226 47 47 3 42 3 ; 227 40 0 3 57 2 . 9 ; 228 35 47 3 58 4 ; 229 31 53 3 54 2 . 9 ; 230 44 51 3 9 3 . 8 ; 231 40 57 3 8 2 . 1 ; 232 38 50 3 5 3 . 5 ; 233 38 19 2 50 4 . 2 ; 234 53 30 3 4 3 ; 235 55 53 2 50 3 . 7 ; 236 50 41 1 43 4 ] ; 237 cygnus=[45 16 20 41 1 . 4 ; % svanen 238 45 7 19 44 2 . 9 ; 239 40 15 20 22 2 . 3 ; 240 33 58 20 46 2 . 5 ; 241 30 13 21 12 3 . 3 ; 242 51 43 19 29 3 . 7 ; 243 27 57 19 30 3 . 2 ; 244 35 4 19 56 3 . 9 ; 245 30 9 19 39 4 . 7 ] ; 246 l e o =[11 58 10 8 1 . 3 6 ; % l e j o n e t 247 14 34 11 49 2 . 1 4 ; 248 19 50 10 19 2 . 3 7 ; 249 23 46 9 45 2 . 9 7 ; 250 15 25 11 14 3 . 3 3 ; 251 23 25 10 16 3 . 4 3 ; 252 16 45 10 7 3 . 5 1 ; 253 26 0 9 52 4 ] ; 254 pegand=[29 5 0 8 2 ; % 255 28 4 23 3 2 . 5 ; 256 15 12 23 4 2 . 5 ; 257 15 11 0 13 2 . 8 ; 258 10 49 22 41 3 . 4 ; 259 6 11 22 10 3 . 5 ; 260 9 52 21 44 2 . 4 ; 261 23 33 22 46 4 ; 262 17 20 21 44 4 . 3 ; 263 19 48 21 22 4 ; 264 30 13 22 43 3 ; 265 25 20 22 7 3 . 8 ; 266 25 38 21 44 4 . 1 ; 267 30 51 0 39 3 . 4 ; 268 35 37 1 9 2 . 2 ; 269 42 19 2 3 2 . 3 ; 270 33 43 0 36 4 . 2 ; 271 38 29 0 56 3 . 8 ; 272 48 37 1 37 3 . 5 ] ; 273 he r cu l e s =[36 48 17 15 3 . 2 ; % herku l e s 274 38 55 16 42 3 . 5 ; 275 31 36 16 41 2 . 9 ; 276 30 55 17 0 3 . 9 ; 277 37 15 17 56 3 . 8 ; 26 278 46 0 17 39 3 . 7 ; 279 42 26 16 34 4 . 2 ; 280 46 18 16 19 3 . 8 ; 281 44 56 16 8 4 . 2 ; 282 24 50 17 15 3 . 1 ; 283 26 6 17 30 4 . 2 ; 284 27 43 17 46 3 . 4 ; 285 29 14 17 57 3 . 7 ; 286 28 45 18 7 3 . 8 ; 287 21 29 16 30 2 . 8 ; 288 14 23 17 14 3 . 4 ; 289 19 9 16 21 3 . 7 ] ; 290 bootes =[19 11 14 15 0 . 2 ; % b j r n v a k t a r e n 291 13 43 14 41 4 . 4 ; 292 18 23 13 54 2 . 7 ; 293 27 4 14 44 2 . 7 ; 294 30 22 14 31 3 . 5 ; 295 33 18 15 15 3 . 4 ; 296 40 23 15 1 3 . 5 ; 297 38 18 14 32 3 ; 298 46 5 14 16 4 . 1 ; 299 51 50 14 25 4 . 1 ] ; 300 aur iga =[45 59 5 16 . 0 8 ; % kusken 301 44 56 5 59 1 . 9 ; 302 37 12 5 59 2 . 6 ; 303 33 9 4 56 2 . 6 ; 304 41 14 5 6 3 . 1 ; 305 43 49 5 1 3 . 1 ] ; 306 taurus =[28 36 5 26 1 . 6 ; % oxen 307 22 57 4 42 4 . 2 ; 308 19 10 4 28 3 . 6 ; 309 17 32 4 22 3 . 8 ; 310 21 8 5 37 3 ; 311 16 30 4 35 1 ; 312 15 37 4 19 3 . 6 ; 313 12 29 4 0 3 . 4 ; 314 9 43 3 27 3 . 7 ] ; 315 gemini=[12 53 6 45 3 . 3 ; % t v i l l i n g a r n a 316 16 23 6 37 1 . 9 ; 317 20 34 7 4 3 . 9 ; 318 21 58 7 20 3 . 5 ; 319 24 23 7 44 3 . 5 ; 320 28 1 7 45 1 . 2 ; 321 31 53 7 34 1 . 5 ; 322 25 7 6 43 2 . 9 ; 323 22 30 6 22 2 . 9 ; 324 22 30 4 14 3 . 3 ] ; 325 v i rgo=[−11 −9 13 25 1 ; % jungfrun 326 0 −35 13 34 3 . 3 ; 327 3 23 12 55 3 . 4 ; 328 −1 −26 12 41 2 . 7 ; 329 −5 −32 13 9 4 . 3 ; 330 −10 −16 14 12 4 . 1 ; 331 1 32 14 1 4 . 2 ; 332 1 53 14 46 3 . 7 ; 333 10 57 13 2 2 . 8 ; 27 334 0 −40 12 19 3 . 8 ; 335 1 45 11 50 3 . 5 ] ; 336 aqu i l a =[8 52 19 50 0 . 9 ; % rnen 337 10 36 19 46 2 . 6 ; 338 6 24 19 55 3 . 7 ; 339 13 51 19 5 2 . 9 ; 340 15 4 18 59 4 ; 341 0 −49 20 11 3 . 2 ; 342 1 0 19 52 3 . 9 ; 343 3 6 19 25 3 . 3 ; 344 −4 −52 19 6 3 . 4 ; 345 −5 −44 19 1 4 ] ; 346 p i s c e s =[2 45 2 2 4 . 1 ; % f i s k a r n a 347 5 29 1 41 4 . 4 ; 348 7 53 1 2 4 . 2 ; 349 7 35 0 48 4 . 4 ; 350 6 51 23 59 4 ; 351 5 37 23 39 4 . 1 ; 352 6 22 23 27 4 . 2 ; 353 3 16 23 17 3 . 7 ; 354 1 46 23 42 4 . 4 ; 355 9 9 1 45 4 . 2 ; 356 15 20 1 31 3 . 6 ; 357 30 5 1 11 4 . 5 ] ; 28 B Kod för parabolisk rotation 1 phi = 0 . 9 ; 2 a = [−1 , 0 ] ; 3 4 s t a r s= cas s ; 5 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 6 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 7 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 8 v=90−v ; 9 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 10 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 11 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 12 f i= 1.5− f i ; 13 r=tan (v ) ; 14 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 15 hold on 16 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 17 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 18 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 19 hold on 20 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 21 f o r i =1: l ength (v ) 22 L = cot (v ( i ) /2) ; 23 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 24 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 25 i f ( vek (1 ) >= 0) 26 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 27 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 28 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 29 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 30 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 31 end 32 end 33 34 s t a r s= l i l l b j o ; 35 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 36 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 37 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 38 v=90−v ; 39 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 40 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 41 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 42 f i= 1.5− f i ; 43 r=tan (v ) ; 44 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 45 hold on 46 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 47 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 48 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 49 hold on 50 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 51 f o r i =1: l ength (v ) 52 L = cot (v ( i ) /2) ; 53 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 54 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 29 55 i f ( vek (1 ) >= 0) 56 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 57 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 58 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 59 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 60 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 61 end 62 end 63 64 s t a r s= s tob jo ; 65 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 66 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 67 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 68 v=90−v ; 69 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 70 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 71 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 72 f i= 1.5− f i ; 73 r=tan (v ) ; 74 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 75 hold on 76 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 77 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 78 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 79 hold on 80 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 81 f o r i =1: l ength (v ) 82 L = cot (v ( i ) /2) ; 83 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 84 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 85 i f ( vek (1 ) >= 0) 86 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 87 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 88 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 89 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 90 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 91 end 92 end 93 94 s t a r s= ceph ; 95 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 96 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 97 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 98 v=90−v ; 99 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 100 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 101 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 102 f i= 1.5− f i ; 103 r=tan (v ) ; 104 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 105 hold on 106 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 107 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 108 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 109 hold on 110 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 30 111 f o r i =1: l ength (v ) 112 L = cot (v ( i ) /2) ; 113 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 114 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 115 i f ( vek (1 ) >= 0) 116 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 117 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 118 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 119 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 120 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 121 end 122 end 123 124 s t a r s= per seus ; 125 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 126 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 127 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 128 v=90−v ; 129 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 130 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 131 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 132 f i= 1.5− f i ; 133 r=tan (v ) ; 134 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 135 hold on 136 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 137 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 138 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 139 hold on 140 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 141 f o r i =1: l ength (v ) 142 L = cot (v ( i ) /2) ; 143 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 144 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 145 i f ( vek (1 ) >= 0) 146 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 147 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 148 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 149 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 150 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 151 end 152 end 153 154 s t a r s= cygnus ; 155 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 156 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 157 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 158 v=90−v ; 159 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 160 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 161 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 162 f i= 1.5− f i ; 163 r=tan (v ) ; 164 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 165 hold on 166 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’m. ’ ) 31 167 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 168 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 169 hold on 170 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 171 f o r i =1: l ength (v ) 172 L = cot (v ( i ) /2) ; 173 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 174 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 175 i f ( vek (1 ) >= 0) 176 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 177 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’m. ’ ) 178 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 179 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 180 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’m. ’ ) 181 end 182 end 183 184 s t a r s= l e o ; 185 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 186 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 187 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 188 v=90−v ; 189 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 190 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 191 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 192 f i= 1.5− f i ; 193 r=tan (v ) ; 194 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 195 hold on 196 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 197 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 198 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 199 hold on 200 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 201 f o r i =1: l ength (v ) 202 L = cot (v ( i ) /2) ; 203 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 204 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 205 i f ( vek (1 ) >= 0) 206 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 207 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 208 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 209 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 210 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 211 end 212 end 213 214 s t a r s= pegand ; 215 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 216 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 217 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 218 v=90−v ; 219 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 220 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 221 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 222 f i= 1.5− f i ; 32 223 r=tan (v ) ; 224 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 225 hold on 226 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 227 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 228 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 229 hold on 230 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 231 f o r i =1: l ength (v ) 232 L = cot (v ( i ) /2) ; 233 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 234 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 235 i f ( vek (1 ) >= 0) 236 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 237 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 238 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 239 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 240 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 241 end 242 end 243 244 s t a r s= he r cu l e s ; 245 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 246 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 247 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 248 v=90−v ; 249 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 250 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 251 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 252 f i= 1.5− f i ; 253 r=tan (v ) ; 254 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 255 hold on 256 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 257 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 258 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 259 hold on 260 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 261 f o r i =1: l ength (v ) 262 L = cot (v ( i ) /2) ; 263 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 264 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 265 i f ( vek (1 ) >= 0) 266 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 267 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 268 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 269 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 270 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 271 end 272 end 273 274 s t a r s= bootes ; 275 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 276 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 277 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 278 v=90−v ; 33 279 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 280 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 281 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 282 f i= 1.5− f i ; 283 r=tan (v ) ; 284 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 285 hold on 286 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 287 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 288 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 289 hold on 290 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 291 f o r i =1: l ength (v ) 292 L = cot (v ( i ) /2) ; 293 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 294 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 295 i f ( vek (1 ) >= 0) 296 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 297 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 298 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 299 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 300 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 301 end 302 end 303 304 s t a r s= aur iga ; 305 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 306 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 307 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 308 v=90−v ; 309 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 310 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 311 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 312 f i= 1.5− f i ; 313 r=tan (v ) ; 314 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 315 hold on 316 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 317 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 318 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 319 hold on 320 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 321 f o r i =1: l ength (v ) 322 L = cot (v ( i ) /2) ; 323 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 324 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 325 i f ( vek (1 ) >= 0) 326 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 327 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 328 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 329 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 330 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ g . ’ ) 331 end 332 end 333 334 s t a r s= taurus ; 34 335 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 336 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 337 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 338 v=90−v ; 339 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 340 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 341 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 342 f i= 1.5− f i ; 343 r=tan (v ) ; 344 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 345 hold on 346 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’m. ’ ) 347 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 348 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 349 hold on 350 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 351 f o r i =1: l ength (v ) 352 L = cot (v ( i ) /2) ; 353 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 354 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 355 i f ( vek (1 ) >= 0) 356 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 357 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’m. ’ ) 358 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 359 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 360 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’m. ’ ) 361 end 362 end 363 364 s t a r s= gemini ; 365 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 366 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 367 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 368 v=90−v ; 369 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 370 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 371 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 372 f i= 1.5− f i ; 373 r=tan (v ) ; 374 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 375 hold on 376 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 377 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 378 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 379 hold on 380 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 381 f o r i =1: l ength (v ) 382 L = cot (v ( i ) /2) ; 383 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 384 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 385 i f ( vek (1 ) >= 0) 386 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 387 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 388 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 389 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 390 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 35 391 end 392 end 393 394 s t a r s= v i rgo ; 395 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 396 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 397 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 398 v=90−v ; 399 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 400 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 401 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 402 f i= 1.5− f i ; 403 r=tan (v ) ; 404 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 405 hold on 406 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 407 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 408 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 409 hold on 410 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 411 f o r i =1: l ength (v ) 412 L = cot (v ( i ) /2) ; 413 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 414 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 415 i f ( vek (1 ) >= 0) 416 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 417 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 418 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 419 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 420 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ b . ’ ) 421 end 422 end 423 424 s t a r s= aqu i l a ; 425 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 426 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 427 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 428 v=90−v ; 429 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 430 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 431 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 432 f i= 1.5− f i ; 433 r=tan (v ) ; 434 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 435 hold on 436 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 437 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 438 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 439 hold on 440 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 441 f o r i =1: l ength (v ) 442 L = cot (v ( i ) /2) ; 443 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 444 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 445 i f ( vek (1 ) >= 0) 446 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 36 447 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 448 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 449 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 450 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ k . ’ ) 451 end 452 end 453 454 s t a r s= p i s c e s ; 455 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 456 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 457 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 458 v=90−v ; 459 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 460 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 461 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 462 f i= 1.5− f i ; 463 r=tan (v ) ; 464 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 465 hold on 466 s c a t t e r ( r .∗ cos ( f i ) , r .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 467 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 468 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 469 hold on 470 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 471 f o r i =1: l ength (v ) 472 L = cot (v ( i ) /2) ; 473 vek = [L∗ cos ( f i ( i ) ) , L∗ s i n ( f i ( i ) ) ] + phi ∗a ; 474 r2 = tan (2∗ acot ( sq r t ( vek (1 ) ^2 + vek (2 ) ^2) ) ) ; 475 i f ( vek (1 ) >= 0) 476 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) ; 477 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 478 e l s e i f ( vek (1 ) < 0) 479 t = atan ( vek (2 ) /vek (1 ) ) + pi ; 480 s c a t t e r ( r2 ∗ cos ( t ) , r2 ∗ s i n ( t ) ,mag( i ) , ’ r . ’ ) 481 end 482 end 37 C Kod för Lorentztransformationen av himmelssfären 1 b2 = 1 ; b3 = 1 ; %Var iera dessa v r d e n f r o l i k a ha s t i g h e t e r . 2 3 s t a r s= cas s ; 4 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 5 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 6 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 7 v=90−v ; 8 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 9 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 10 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 11 f i= 1.5− f i ; 12 x=tan (v/2) ; 13 x=x/b2 ; 14 v2=2∗atan (x ) ; 15 r2=tan ( v2 ) ; 16 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 17 hold on 18 t i t l e ( ’ v = ’ ) 19 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 20 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 21 x=tan (v/2) ; 22 x=x/b3 ; 23 v3=2∗atan (x ) ; 24 r3=tan ( v3 ) ; 25 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 26 hold on 27 t i t l e ( ’ v = ’ ) ; 28 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 29 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 30 31 32 s t a r s= l i l l b j o ; 33 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 34 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 35 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 36 v=90−v ; 37 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 38 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 39 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 40 f i= 1.5− f i ; 41 x=tan (v/2) ; 42 x=x/b2 ; 43 v2=2∗atan (x ) ; 44 r2=tan ( v2 ) ; 45 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 46 hold on 47 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 48 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 49 x=tan (v/2) ; 50 x=x/b3 ; 51 v3=2∗atan (x ) ; 52 r3=tan ( v3 ) ; 53 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 54 hold on 38 55 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 56 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 57 58 s t a r s= s tob jo ; 59 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 60 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 61 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 62 v=90−v ; 63 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 64 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 65 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 66 f i= 1.5− f i ; 67 x=tan (v/2) ; 68 x=x/b2 ; 69 v2=2∗atan (x ) ; 70 r2=tan ( v2 ) ; 71 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 72 hold on 73 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 74 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 75 x=tan (v/2) ; 76 x=x/b3 ; 77 v3=2∗atan (x ) ; 78 r3=tan ( v3 ) ; 79 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 80 hold on 81 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 82 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 83 84 s t a r s= ceph ; 85 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 86 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 87 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 88 v=90−v ; 89 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 90 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 91 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 92 f i= 1.5− f i ; 93 x=tan (v/2) ; 94 x=x/b2 ; 95 v2=2∗atan (x ) ; 96 r2=tan ( v2 ) ; 97 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 98 hold on 99 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 100 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 101 x=tan (v/2) ; 102 x=x/b3 ; 103 v3=2∗atan (x ) ; 104 r3=tan ( v3 ) ; 105 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 106 hold on 107 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 108 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 109 110 s t a r s= or ion ; 39 111 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 112 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 113 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 114 v=90−v ; 115 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 116 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 117 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 118 f i= 1.5− f i ; 119 x=tan (v/2) ; 120 x=x/b2 ; 121 v2=2∗atan (x ) ; 122 r2=tan ( v2 ) ; 123 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 124 hold on 125 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 126 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 127 x=tan (v/2) ; 128 x=x/b3 ; 129 v3=2∗atan (x ) ; 130 r3=tan ( v3 ) ; 131 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 132 hold on 133 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ k . ’ ) 134 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 135 136 s t a r s= per seus ; 137 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 138 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 139 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 140 v=90−v ; 141 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 142 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 143 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 144 f i= 1.5− f i ; 145 x=tan (v/2) ; 146 x=x/b2 ; 147 v2=2∗atan (x ) ; 148 r2=tan ( v2 ) ; 149 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 150 hold on 151 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 152 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 153 x=tan (v/2) ; 154 x=x/b3 ; 155 v3=2∗atan (x ) ; 156 r3=tan ( v3 ) ; 157 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 158 hold on 159 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 160 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 161 162 s t a r s= cygnus ; 163 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 164 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 165 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 166 v=90−v ; 40 167 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 168 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 169 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 170 f i= 1.5− f i ; 171 x=tan (v/2) ; 172 x=x/b2 ; 173 v2=2∗atan (x ) ; 174 r2=tan ( v2 ) ; 175 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 176 hold on 177 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’m. ’ ) 178 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 179 x=tan (v/2) ; 180 x=x/b3 ; 181 v3=2∗atan (x ) ; 182 r3=tan ( v3 ) ; 183 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 184 hold on 185 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’m. ’ ) 186 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 187 188 s t a r s= l e o ; 189 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 190 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 191 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 192 v=90−v ; 193 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 194 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 195 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 196 f i= 1.5− f i ; 197 x=tan (v/2) ; 198 x=x/b2 ; 199 v2=2∗atan (x ) ; 200 r2=tan ( v2 ) ; 201 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 202 hold on 203 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 204 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 205 x=tan (v/2) ; 206 x=x/b3 ; 207 v3=2∗atan (x ) ; 208 r3=tan ( v3 ) ; 209 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 210 hold on 211 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 212 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 213 214 s t a r s= pegand ; 215 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 216 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 217 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 218 v=90−v ; 219 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 220 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 221 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 222 f i= 1.5− f i ; 41 223 x=tan (v/2) ; 224 x=x/b2 ; 225 v2=2∗atan (x ) ; 226 r2=tan ( v2 ) ; 227 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 228 hold on 229 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 230 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 231 x=tan (v/2) ; 232 x=x/b3 ; 233 v3=2∗atan (x ) ; 234 r3=tan ( v3 ) ; 235 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 236 hold on 237 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’b . ’ ) 238 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 239 240 s t a r s= he r cu l e s ; 241 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 242 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 243 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 244 v=90−v ; 245 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 246 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 247 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 248 f i= 1.5− f i ; 249 x=tan (v/2) ; 250 x=x/b2 ; 251 v2=2∗atan (x ) ; 252 r2=tan ( v2 ) ; 253 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 254 hold on 255 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 256 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 257 x=tan (v/2) ; 258 x=x/b3 ; 259 v3=2∗atan (x ) ; 260 r3=tan ( v3 ) ; 261 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 262 hold on 263 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ r . ’ ) 264 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 265 266 s t a r s= bootes ; 267 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 268 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 269 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 270 v=90−v ; 271 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 272 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 273 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 274 f i= 1.5− f i ; 275 x=tan (v/2) ; 276 x=x/b2 ; 277 v2=2∗atan (x ) ; 278 r2=tan ( v2 ) ; 42 279 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 280 hold on 281 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 282 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 283 x=tan (v/2) ; 284 x=x/b3 ; 285 v3=2∗atan (x ) ; 286 r3=tan ( v3 ) ; 287 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 288 hold on 289 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 290 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 291 292 s t a r s= aur iga ; 293 mag= s t a r s ( : , 5 ) ; 294 mag= 400∗10.^(−mag/3 . 5 ) ; 295 v=s t a r s ( : , 1 )+ s t a r s ( : , 2 ) /60 ; 296 v=90−v ; 297 v= 2∗ pi ∗v /360 ; 298 f i=s t a r s ( : , 3 )+s t a r s ( : , 4 ) /60 ; 299 f i= 2∗ pi ∗ f i /24 ; 300 f i= 1.5− f i ; 301 x=tan (v/2) ; 302 x=x/b2 ; 303 v2=2∗atan (x ) ; 304 r2=tan ( v2 ) ; 305 subplot ( 1 , 2 , 1 ) 306 hold on 307 s c a t t e r ( r2 .∗ cos ( f i ) , r2 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 308 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 309 x=tan (v/2) ; 310 x=x/b3 ; 311 v3=2∗atan (x ) ; 312 r3=tan ( v3 ) ; 313 subplot ( 1 , 2 , 2 ) 314 hold on 315 s c a t t e r ( r3 .∗ cos ( f i ) , r3 .∗ s i n ( f i ) , mag , ’ g . ’ ) 316 ax i s ( [−1.5 1 .5 −1.5 1 . 5 ] ) 317 318 s t a r s= taurus ; 319 mag= s t a r s ( :