Banach-Tarskis paradox: amenabla grupper och urvalsaxiom

Abstract

Vi presenterar bevis av både den starka och svaga formuleringen av Banach-Tarskis para dox. Specifikt visar vi att alla klot i R 3 är E(3)-paradoxala (svaga formuleringen), och att alla begränsade delmängder av R 3 med icke-tom interiör är E(3)-ekvidekomponerbara (starka for muleringen). Vi presenterar relevant teori gällande ekvidekomponerbarhet och paradoxalitet som krävs för att genomföra bevisen. Utöver Banach-Tarskis paradox undersöker vi amenabla grupper och presenterar ett graf teoretiskt bevis av Tarskis sats, nämligen att en grupp antingen är amenabel eller paradoxal. Vi ger några exempel på amenabla och paradoxala grupper, presenterar nödvändiga och till räckliga villkor för amenabilitet och visar att alla Abelska grupper är amenabla samt att SO(n) är paradoxal för alla n ≥ 3 medan SO(1) och SO(2) är amenabla. Då Banach-Tarskis paradox bygger på paradoxaliteten hos SO(3) finns det alltså ingen analog paradox i R eller R2. Vi undersöker också urvalsaxiomets roll genom att visa att en uppräknelig begränsning av urvalsaxiomet inte ger Banach-Tarskis paradox. Detta gör vi genom att introducera determinismaxiomet och visa att under detta är alla delmängder av R Lebesgue-mätbara vilket motsäger paradoxen. Därefter lägger vi även till axiomet V = L(R) och visar att de tillsam mans medför den uppräkneliga begränsningen av urvalsaxiomet. Sammanlagt ger detta en modell där det uppräkneliga urvalsaxiomet håller men inte Banach-Tarskis paradox.