Tillämpning och Visualisering av Kvaternioner
Typ
Examensarbete för kandidatexamen
Program
Publicerad
2020
Författare
Hietanen, Emil
Ahlebrand, Hampus
Petterson, Henrik
Karlsson, Philip
Modellbyggare
Tidskriftstitel
ISSN
Volymtitel
Utgivare
Sammanfattning
Den här rapporten undersöker hur kvaternioner kan visualiseras och användas i diverse
tillämpningar. Generaliseringen av komplexa tal upp till fyra dimensioner, senare känt som
den hyperkompelxa talmängden kvaternioner presenterades för världen av Sir William Rowan
Hamilton, 1854, och har sedan dess applicerats inom flera områden. I denna rapporten utreds
hur kvaternioner kan användas och visualiseras inom tre tillämpningsområden men först
beskrivs nödvändig teori och bakgrund. I rapporten har en jämförelse mellan kvaternioner
och den alternativa metoden, Eulervinklar, studerats för att belysa skillnader i metoderna.
Den grundläggande teorin för kvaternioner används därefter för att få en förståelse för teorin
och hur kvaternioner fungerar genom två visualiserade fenomen vars förklaring endast är
möjlig med kvaternioner, boll- och bält-tricket. Därefter behandlas mer avancerad teori inom
tre tillämpningsområden; datorgrafik, stelkroppsdynamik och differentialgeometri.
Inom differentialgeometri så behandlar denna rapporten hur man kan beskriva 3D ytor
med hjälp av så kallade kvaternionramar och kvaternion-Gaussavbildning, vilket möjliggör
ett sätt att beskriva en yta och dess egenskaper. Dessutom undersöks möjligheterna att
använda kvaternioner inom stelkroppsdynamik genom en simulerad kollision mellan två
konvexa stelkroppar med en friktionskoefficient och varför det kan vara fördelaktigt att
använda sig av kvaternioner. Visualiserngarna av kvaternioner i rapporten är genomförda
med olika metoder, men alla visualiseringar har genomförts i antigen Blender eller MatLab.
Resultatet i rapporten ger en kännedom om diverse tillämpningar och visualiseringar om
kvaternioner. Dessutom belyses också begränsningar med den alternativa metoden,
Eulervinklar, som kvaternioner inte besitter. De begränsningar som Eulervinklar besitter
innebär att kvaternioner är en fördelaktig metod i de tillämpningar vi studerat.
Beskrivning
Ämne/nyckelord
Kvaternion; Kvatternionram; Gaussavbildning; Rotation; Orientering; Stelkroppsdynamik; Visualisering, Bält-tricket; Bolltricket.