Icke-standardanalys med tillämpning inom hydrodynamik

Abstract

Första delen av rapporten beskriver en mängdteoretisk uppbyggnad av icke-standardanalys utgående från Robinson och Zakons urpsrungliga beskrivning i [RZ69]. Först definieras begreppet superstruktur, vilket används för att konstruera ett formellt språk som sedan används för att formulera satser. Därefter definieras utvidgningar av superstrukturer och det visas att det med hjälp av en ultrapotens går att finna en modell av alla satser som är sanna för superstrukturen av de reella talen, sådan att modellen även innefattar infinitesimaler och oändligt stora tal. Därefter ges exempel på hur satser kan överföras mellan superstrukturen av de reella talen och den nya modellen. Den andra delen av rapporten behandlar ett viktigt tillämpningsområde för icke-standardanalys, nämnligen hydrodynamik. Fokuset ligger här på Navier-Stokes ekvationer, som beskriver rörelsen hos en fluid. Dessa ekvationer förklaras utförligt. Målet är att visa att lösningar existerar till dessa ekvationer i områden som är begränsade. För detta syfte beskrivs grundläggande funktionalanalys. Speciellt förs en genomgång över relevanta Hilbertrum och dess egenskaper. Det är i dessa rum som lösningar till ekvationerna betraktas. Slutligen tillämpas Galerkinmetoden. Med hjälp av metoder ur icke-standardanalys frambringar Galerkinmetoden lösningar till Navier-Stokes ekvationer.