Bortom normalfördelningen

Abstract

Normalfördelningen är en essentiell sannolikhetsfördelning inom statistiken som kan beskriva många olika sorters fenomen inom naturen och i samhället. Den kan dock inte användas överallt. Exempelvis kan den så kallade rich-get-richer-principen, vilket innebär att “många har lite och få har mycket”, ge upphov till fördelningar vars svansar inte avtar exponentiellt och som därför inte kan modelleras med hjälp av normalfördelningen. Ett exempel på en process som kan ge upphov till rich-get-richer-fenomenet är Galton-Watson-processen, vilket är en stokastisk förgreningsprocess som ursprungligen användes under 1800-talet för att modellera spridningen och utrotningen av efternamn. Detta arbete ämnade till att undersöka Galton-Watson-processen, för att ta reda på huruvida den ger upphov till tungsvansade fördelningar i de subkritiska och kritiska fallen. Mer specifikt så betraktades fallet då processens reproduktionsfördelning ges av den så kallade LF-fördelningen (eng. linear fractional distribution). Detta gjordes genom en litteraturstudie samt genom simuleringar av processen i Java och analys av den erhållna datan i R. Det konstaterades att om Galton-Watson-processens reproduktionsfördelning ges av LFfördelningen så ges överlevnadsfunktionen SW av det totala antalet individer W i det kritiska fallet av potenslagen

där µ2 är reproduktionsfördelningens varians. Approximationer av överlevnadsfunktionen från simuleringar följer formeln väl. Således är överlevnadsfunktionen avW tungsvansad i det kritiska fallet. Vidare så verkar log-log-plots och qq-plots av flera dataset erhållna från simuleringar av processen visa att överlevnadsfunktionen i det subkritiska fallet avtar i en snabbare takt än vad en potenslag beskriver, möjligtvis exponentiellt.