Att förstå och bevisa Riemann-Rochs sats: En väg genom analys och geometri

Abstract

Detta arbete presenterar och diskuterar den nödvändiga teorin för att kunna formulera Riemann-Rochs sats, och bevisa satsen för två konkreta specialfall: Riemannsfären och kom plexa torusar. Ambitionen är att göra detta för läsare med kunskaper motsvarande en första kurs i komplex analys. Arbetet tar avstamp i en definition av begreppet Riemannyta och en allmän diskussion om verktygen som krävs för att utföra komplex analys på en Riemannyta. Begreppet Riemannyta konkretiseras därefter genom en grundlig genomgång av konstruktio nen av Riemannsfären och komplexa torusar som Riemannytor. Diskussionen innefattar även de meromorfa funktionernas utseende på Riemannsfären och komplexa torusar. I det sista avsnittet introduceras begreppet divisorer som senare används som utgångspunkt för att kun na formulera Riemann-Rochs sats för en allmän Riemannyta. Därefter övergår avsnittet till att presentera bevis för Riemann-Rochs sats i specialfallen då Riemannytan utgörs av Rie mannsfären eller en komplex torus. Skillnaderna i de två fallen understryker att de meromorfa funktionerna på respektive yta skiljer sig på grund av att Riemannsfären har topologiskt genus g = 0 medan de komplexa torusarna har genus g = 1. Arbetet avslutas med en kort diskussion om viktiga konsekvenser av Riemann-Rochs sats.