Banach–Tarski paradoxen och dess implikationer på måttproblemet
Typ
Examensarbete för kandidatexamen
Program
Publicerad
2020
Författare
Enarsson, Lukas
Johansson, Oskar
Molin, Vincent
Timlin, Emil
Modellbyggare
Tidskriftstitel
ISSN
Volymtitel
Utgivare
Sammanfattning
Vi presenterar ett bevis av en sats av Stefan Banach och Alfred Tarski, som bygger på
resultat av Felix Hausdorff: Det finns två ändliga samlingar av disjunkta delmängder av
enhetsbollen i R3 sådana att varje samling kan transformeras till en ny enhetsboll under
verkan av stela rörelser (ändliga kombinationer av translationer och rotationer). Detta resultat
förlängs sedan till dess starka form: Om A;B är två begränsade delmängder av R3 med icketomt
inre så finns två partitioner fAign i=1; fBigni
=1 av A och B respektive, och stela rörelser
_1; _2; :::; _n sådana att _i(Ai) = Bi för varje i = 1; 2; :::; n. Dessa satser kallas för Banach–
Tarski paradoxen.
Måttproblemet ställer frågan huruvida man kan tilldela en volym till varje delmängd av
Rn för n 2 N så att volym bevaras under stela rörelser och partitionering. Vi visar att, som en
konsekvens av Banach–Tarski paradoxen, kan man inte ge ett jakande svar till måttproblemet
för n > 2. Vi diskuterar om detta kan ges i en och två dimensioner, och i allmänhet hur
problemet att tilldela en volym till varje delmängd av en mängd X relaterar till existensen av
dekomposititoner av delmängder av X liknande dem ovan, där elementen som transformerar
dekompositionerna kan höra till vilken klass som helst av bijektioner av X