Fourierserieutveckling av andra ordningens Eisensteinserier

Abstract

Detta kandidatarbete i matematik – vid Chalmers tekniska högskola – studerar en typ av modulära former vid namn Eisensteinserier med syftet att öka förståelsen för båda av dessa matematiska konstruktioner. Efter ett antal förberedelser börjar vi betrakta den klassiska Eisensteinserien, visar att det är en första ordningens modulär form, erhåller dess Fourierserieutveckling och undersöker dimensionen av de vektorrum som spänns upp av dessa serier. Därefter lyfter vi blicken och redogör för kopplingen mellan första och andra ordningens modulära former, mer specifikt för glatta sådana. Den klassiska Eisensteinserien generaliseras sedermera till en andra ordningens modulär form. I nästa steg introducerar vi aritmetiska typer och periodpolynom, vilka grundar sig i representationsteori och kohomologi. För periodpolynomen av SL2(Z) utvecklas dessutom en begränsning som är ett starkare resultat än vad som återfinns i litteraturen. Vi konstruerar dessutom generaliserade andra ordningens Eisensteinserier för SL2(Z), för vilka vi med hjälp av denna periodpolynomsbegränsning finner en Fourierserieutveckling. Slutligen föreslår vi inriktningar på framtida forskning för dessa generaliserade Eisensteinserier.